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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Soit l’équation du premier ordre
(3)
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Je supposerai que
est une série de la forme
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m.n}\mu ^{|m|+|n|}\cos(m\lambda -n)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fc3d6b14b47d68ee2631d2cd84ca2e4bcf1ea2)
Les
et les
prennent toutes les valeurs entières possibles,
est une constante, les
sont des coefficients constants, et
est un paramètre très petit, par rapport aux puissances duquel
nous développerons.
L’intégration donne alors
(4)
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Cette solution doit être modifiée quand
est commensurable ; soit
en effet
et
étant premiers entre eux,
sera
nul quand on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}m&=hq,&n&=hp,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d20716933ce315ea5c0a6376421cc41098b48ab)
étant entier.
Il viendra alors
(5)
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où sous le signe
on ne donne à
et à
que les valeurs qui
n’annulent pas
et où
![{\displaystyle \mathrm {B} =\sum _{h=-\infty }^{h=+\infty }\mathrm {A} _{hq.hp}\,\mu ^{|hq|+|hp|}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5be2cd14bd1e9130141de1f0f11b6c50a5d1b7)
Si dans les formules (4) et (5) on passe des logarithmes aux
nombres, on trouvera dans un cas comme dans l’autre
![{\displaystyle x=e^{\mathrm {C} t}\psi (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447623d60e801eed140817bd403503a58b35209c)
étant une série ordonnée suivant les puissances de
et dont