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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/OOjs_UI_icon_info-progressive.svg/40px-OOjs_UI_icon_info-progressive.svg.png) | Le numéro d’équation (5) est dupliqué, c’est pourquoi le numéro sur cette page est écrit [5] |
d’où
![{\displaystyle \left|\mathrm {C} _{n}\right|<{\frac {\mathrm {K} \,e^{\frac {3n}{4}}}{\left({\dfrac {3n}{4\alpha }}\right)^{\frac {3n}{4}}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c971f7604d323030c5c381fc17102b1d34e767d3)
Nous observerons que, la fonction
étant paire, les coefficients
sont nuls.
Je me propose de démontrer que
considéré comme fonction
de
est de genre zéro. En vertu d’un théorème de M. Hadamard
(Cf. Comptes rendus, t. CXV, p. 1121), il suffit pour cela d’établir
que
![{\displaystyle |\mathrm {C} _{2n}|<\mathrm {K} '\Gamma (n+1)^{-\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb3148dcfa78d773284462a79fe9c6f0e1ba6692)
étant plus grand que 1.
Or il vient
![{\displaystyle |\mathrm {C} _{2n}|\,\Gamma (n+1)^{+\mu }<\mathrm {K} \,e^{\frac {3n}{2}}\left({\frac {3n}{2\alpha }}\right)^{-{\frac {3n}{2}}}\Gamma (n+1)^{+\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037f7eb8ed5758c5db394b63b252a45562f268b1)
Si l’on remplace
par sa valeur approchée, le second
membre devient
![{\displaystyle \mathrm {K} \,e^{{\frac {3n}{2}}-n\mu }\left({\frac {3}{2\alpha }}\right)^{\frac {3n}{2}}n^{n\mu -{\frac {3n}{2}}}\left(2\pi n\right)^{\frac {\mu }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b85d1415e80848aad96b3d65cc0a413622cd2d8)
Il s’agit de démontrer que, pour une valeur de
cette
expression reste limitée. Or, si
![{\displaystyle \mu <{\tfrac {3}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2645d0fa2754a5c9bb75be961bda92f473b7e64a)
elle tend vers zéro, quand
croît indéfiniment.
Il suffira donc de prendre
![{\displaystyle 1<\mu <{\tfrac {3}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a2f836efa99f94f9d116742d4f9762e179e9d8)
Il résulte de là que la fonction
peut se développer en un
produit de la forme
[5]
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Il reste donc à connaître les zéros de la fonction
d’après