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CHAPITRE XVII.
J’ai démontré dans le Bulletin de la Société mathématique de France
que, si une fonction
est de genre 1, on aura
![{\displaystyle \lim \varphi (x)e^{-\alpha x^{2}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a65b2ca163597111ca84dba3fd2c31b141183a)
si
tend vers l’infini avec un argument déterminé et de telle
sorte que
tende vers zéro.
Si donc
et
sont réels positifs, on aura
![{\displaystyle \lim \mathrm {F} (t^{3})e^{-\alpha t^{2}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb36631cb0d82f5b66508c6c5f38fb3d150dab86)
Quand on fera varier
de
à
le premier membre tendra
vers sa limite uniformément, d’où cette conséquence ; on pourra
trouver deux nombres positifs
et
tels que
![{\displaystyle \left|\nabla (y+ix)\right|<\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!x^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02a4fe22a3c0567a0b522daa3812eaef566456f)
en faisant
et remarquant que
![{\displaystyle |x|<|z|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639bafcd7086e1eac1a7f9ba168a8a9492e147da)
il viendra
![{\displaystyle \left|\nabla (z)\right|<\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!z^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda534588350c732055a037c53b655ff43f30b84)
Considérons maintenant le développement de
![{\displaystyle \nabla (z)={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{n}z^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2d4ad7404d7593237c81651f77878a50ffd987)
il viendra
![{\displaystyle 2i\pi \,\mathrm {C} _{n}=\int {\frac {\nabla (z)\,dz}{z^{n+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6a327d07a635f1edab8d6d7d5800bee7a4b5dc)
l’intégrale étant prise le long d’un cercle de rayon quelconque
ayant pour centre l’origine.
On en conclut
![{\displaystyle \left|\mathrm {C} _{n}\right|<{\frac {\mathrm {K} \,e^{\begin{array}{r|l|}\!\!\alpha \!\!&\!\!z^{\frac {4}{3}}\!\!\end{array}}}{\left|z^{n}\right|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0492152816d24234fa86a4724b1a6650ad0d2b32)
et cela quel que soit
Or le minimum de
![{\displaystyle e^{\alpha z^{\frac {4}{3}}}z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef3b9c2bb56362ae1f3c70e44ef1f9e01a0d124)
est
![{\displaystyle e^{\frac {3n}{4}}\left({\frac {3n}{4\alpha }}\right)^{-{\frac {3n}{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed6228a8916c73577a0d19e48cb327175975298)