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CHAPITRE XVII.
On aura d’ailleurs, ce qui se voit immédiatement en comparant
les déterminants,
![{\displaystyle \nabla _{n}(x+2)=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{2}\mathrm {E} _{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de0781331473a7722e762991a9ad619af7338df)
Nous allons faire tendre
vers l’infini, le premier membre tendra
vers
quant au second membre, il tendra vers
![{\displaystyle \square \,(x)\,(q^{2}-x^{2})\lim \Pi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ecaa7816a33e3931b9f96af7742157c19572bd)
Nous avons trouvé plus haut
![{\displaystyle \nabla (x)=\square \,(x)\,(q^{2}-x^{2})\lim \Pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48323132abed10a2d1a01a55784817e8a727f2fc)
étant le produit des facteurs (5) où l’on donne à
les valeurs
![{\displaystyle \pm n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6019d35575cbf8e573b799bd4af413006464b8c7)
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {\Pi '}{\Pi }}={\frac {q^{2}-{\dfrac {(x+2n+2)^{2}}{4(n+1)^{2}}}}{q^{2}-{\dfrac {(x-2n)^{2}}{4n^{2}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7b7b7cfd1361f60e061bc57abfb3de3f5eb331)
d’où
![{\displaystyle \lim {\frac {\Pi '}{\pi }}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470f92c1daacb55afe3d730b5274329485459328)
d’où enfin
C.Q.F.D.
De plus, on a
![{\displaystyle \nabla _{n}(-x)=\nabla _{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03ff92f5c98443672c0b1520be50efcc6f84270)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \nabla (x)=\nabla (-x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ba41c0c5f519b97d3c3dd05824cafd72930983)
Poursuivant l’étude de la fonction entière
je me propose
de démontrer qu’elle est de genre zéro, quand on la regarde
comme fonction de
On sait qu’une fonction entière est dite
de genre zéro quand elle peut se développer en un produit infini
de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \left(1-{\frac {x}{b_{1}}}\right)\left(1-{\frac {x}{b_{2}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {x}{b_{n}}}\right)\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae82a0aa61cb950cacea844d9a854c3bdbbd1422)
Plus généralement on dit qu’une fonction entière est de genre
lorsqu’elle est développable en un produit d’un nombre infini de