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CHAPITRE XVII.
Par conséquent, d’après l’inégalité (6) du no 185, on aura
(4)
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Or, en posant, pour abréger,
et associant les facteurs
du produit qui correspondent à des valeurs de
égales et
de signe contraire, ce produit infini peut s’écrire
![{\displaystyle \Pi \left[1+{\frac {x^{2}-\lambda ^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}+{\frac {(x^{2}-\lambda ^{2})^{2}}{16n^{4}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f699990b36f1f59db28b52d9c986b555ebc03d45)
et il est évidemment convergent et toujours fini. Donc il en est de
même de ![{\displaystyle \nabla (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab5548c4ae3f0863dc2c34b478dff90f8cba153)
Dans cette démonstration j’ai supposé
réel ; mais, si
était
imaginaire, il n’y aurait rien d’essentiel à y changer ; il suffirait
d’écrire
![{\displaystyle |q^{2}|+|q_{1}|+|x+20|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068c0d5e54a0ba329dc101659fd87972b3e92776)
au lieu de
![{\displaystyle q^{2}+|q_{1}|+(x+20)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7adf1c40c69f8bbb810af4bd41daf146c318d8c7)
Donc
est encore fini quelle que soit la valeur imaginaire
de
c’est donc une fonction entière.
Si l’on voulait démontrer par le menu que
jouit des autres
caractères d’une fonction entière, c’est-à-dire qu’elle est continue
et a une dérivée, il suffirait d’observer que le déterminant dont
la limite est
converge uniformément.
Appelons, en effet,
le déterminant formé en prenant
dans
les
lignes et les
colonnes numérotées
de
à
On aura
![{\displaystyle \nabla (x)=\lim \nabla _{n}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956e40f39a518811a131a12ce554cd3a6a9a793d)
Soit alors dans le plan des
un contour fermé
quelconque ;
soit
un point de ce contour et
un point intérieur à ce contour.
Comme
est un polynôme entier, on aura évidemment
![{\displaystyle 2i\pi \nabla _{n}(x)=\int {\frac {\nabla _{n}(z)\,dz}{z-x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371bb48f789fb01577ccc8b84f80a5fee4d38d8b)
l’intégrale étant prise bien entendu le long du contour C. La fonc-