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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
et la ligne numérotée
par
![{\displaystyle {\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5cca177c4b74c251a73032e6fb949c0f5dfac3)
Je dis que le déterminant
ainsi obtenu, sera encore convergent ;
et, en effet, si nous nous rappelons la définition donnée
plus haut de la limite d’un déterminant indéfini dans les deux sens,
nous verrons que
![{\displaystyle \nabla (h)=\square \,(h)(q^{2}-h^{2})\Pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f01d7b7c9b96a228b8c637cf85e5caee9c1ecfa)
étant la limite vers laquelle tend le produit des
facteurs
![{\displaystyle {\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b8aa49af1e0503d1633586cc9247070b58a7a9)
où
quand
croît indéfiniment :
est
donc la limite du produit infini
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left[1+{\frac {h^{2}-q^{2}}{2n^{2}}}-{\frac {h^{2}}{n^{2}}}+{\frac {(h^{2}-q^{2})^{2}}{16n^{4}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f92621304114e1ffdf264bc8496025933bcd3d5)
lequel est évidemment convergent. Donc
converge.
Appelons
celui des éléments de ce déterminant qui appartient
à la ligne numérotée
et à la colonne numérotée
Nous
aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}b_{0.0}=q^{2}-h^{2}&,&b_{n.n}&={\frac {q^{2}-(h+2n)^{2}}{4n^{2}}}\quad (n\gtrless 0),\\b_{0.1}=b_{0.-1}=-{\frac {q_{1}}{2}}&,&b_{n.n+1}&=b_{n.n+1}=-{\frac {q_{1}}{8n^{2}}}\quad (n\gtrless 0),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067f862a56f97882fa8a604ad174118bd7425c36)
![{\displaystyle b_{n.p}=0\quad (|n-p|>1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5fd81487386d65a08d2313871d55abcbfc1edb)
Nous allons remplacer dans
par
et étudier les propriétés
de la fonction
ainsi définie.
Je dis d’abord que c’est une fonction entière.
En effet, on aura évidemment, en remplaçant
par
![{\displaystyle {\begin{aligned}|b_{0.0}|&<q^{2}+x^{2},&|b_{n.n}|&<{\frac {q^{2}-(x+2n)^{2}}{4n^{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ca5c0bcbd6ecb4f204bd1eed995b257a62b104)