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CHAPITRE XVII.

Je dis que les quantités $\mathrm {A} _{n},$ ainsi définies, satisfont aux équations (2). Si nous donnons, en effet, à $x_{p}$ la valeur $a_{n.p},$ c’est-à-dire la valeur

$0,\quad {\frac {-q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\quad$ ou$1.$

selon que

$|n-p|>1,\quad |n-p|=1\quad$ ou que $\quad n=p,$

notre déterminant deviendra

$\mathrm {A} _{n}-{\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(h+2n)^{2}\right]}}\left(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n+1}\right)$

et il devra être nul, car il y a deux lignes identiques ; l’équation (2 bis) sera donc satisfaite.

Il y a exception pour $n=0\,;$ car le déterminant n’a plus alors deux lignes identiques ; mais il est encore nul, parce qu’il se réduit alors à $\square \,(h)$ qui est nul en vertu de l’équation (3).

Enfin la série

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{p}e^{(2p+h)it}$

converge ; car on l’obtient en faisant dans $\Delta$

$x_{p}=e^{(2p+h)it},$

et la valeur absolue de $x_{p}$ est alors limitée, ce qui est, comme nous l’avons vu, une condition suffisante de la convergence de Δ.

Application du théorème de M. Hadamard.

187.Il nous reste à étudier l’équation

(3)

$\square \,(h)=0.$

Pour cela, il nous faut d’abord définir le déterminant que M. Hill appelle $\nabla (h).$

Pour cela, reprenons notre déterminant $\square \,(h)$ et multiplions la ligne numérotée zéro par

$q^{2}-h^{2}$