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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
d’où
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\mathrm {M} _{n}}{1-\mathrm {M} _{n}\alpha _{n+1}}}={\frac {\mathrm {M} _{n}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n+1}}{1-\mathrm {M} _{n+1}\alpha _{n+2}}}}}=\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b898dc5a2c67bf57063028ab26c6766b3ba55d8c)
Nous sommes donc conduit à exprimer
par la fraction continue
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} _{1}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{1}\mathrm {M} _{2}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{2}\mathrm {M} _{3}}{1-{\dfrac {\mathrm {M} _{3}\mathrm {M} _{4}}{1-\ldots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fae4d5c92b622b4b8eb50b7050bc2b6acd4ead6)
Cette fraction continue est-elle convergente ? Soit
sa
ième
réduite, nous aurons
(5)
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et, d’autre part,
![{\displaystyle \mathrm {P} _{n}\mathrm {Q} _{n-1}-\mathrm {P} _{n-1}\mathrm {Q} _{n}=\mathrm {M} _{1}^{2}\,\mathrm {M} _{2}^{2}\,\mathrm {M} _{3}^{2}\ldots \mathrm {M} _{n-1}^{2}\,\mathrm {M} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1509db41be47f5ab53bc8d5082bc50c7ea856271)
Je remarque d’abord que, quand
croît indéfiniment,
tend
vers 0 et que la série
(6)
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est absolument convergente (sauf dans le cas où l’une des quantités
est infinie, c’est-à-dire où
est égal à
à un entier
près ; ce cas doit être exclu de la discussion qui va suivre). D’ailleurs,
à partir d’un certain rang, tous les termes de cette série
seront positifs.
Je dis maintenant que
va tendre vers une limite finie et qu’il
en sera de même de
En effet,
et
sont définis par les équations de récurrence (5).
Déterminons par les mêmes équations deux quantités
et
de telle sorte que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {R} _{n}&=\mathrm {R} _{n-1}-\mathrm {R} _{n-2}\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1},\\\mathrm {R} _{n}'&=\mathrm {R} _{n-1}'-\mathrm {R} _{n-2}'\mathrm {M} _{n}\mathrm {M} _{n-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670af9656dc38b1e4ba8ff7ba2c691cd7df84c2c)
Nous pourrons nous donner arbitrairement deux quelconques des
quantités
et aussi deux quelconques des quantités ![{\displaystyle \mathrm {R} _{n}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec4e44e17752712c641ce74dd284948dde15dab)