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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
d’où
Nous sommes donc conduit à exprimer par la fraction continue
Cette fraction continue est-elle convergente ? Soit sa ième
réduite, nous aurons
(5)
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et, d’autre part,
Je remarque d’abord que, quand croît indéfiniment, tend
vers 0 et que la série
(6)
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est absolument convergente (sauf dans le cas où l’une des quantités
est infinie, c’est-à-dire où est égal à à un entier
près ; ce cas doit être exclu de la discussion qui va suivre). D’ailleurs,
à partir d’un certain rang, tous les termes de cette série
seront positifs.
Je dis maintenant que va tendre vers une limite finie et qu’il
en sera de même de
En effet, et sont définis par les équations de récurrence (5).
Déterminons par les mêmes équations deux quantités
et de telle sorte que
Nous pourrons nous donner arbitrairement deux quelconques des
quantités et aussi deux quelconques des quantités