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CHAPITRE XVII.
les équations (2) soient satisfaites et la série
convergente.
Nous pouvons considérer également l’équation à second membre
(3)
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cette équation admet une solution de la forme
![{\displaystyle x={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}\cos(\lambda +2n)t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bc98d55ad72f646fbdb8a8342add4003ea8a9e)
Il serait aisé d’ailleurs (par la méthode ordinaire d’intégration
des équations linéaires à second membre) de calculer les coefficients
une fois qu’on connaîtrait
et les
mais, si l’on veut
les calculer directement, on est conduit aux équations suivantes
analogues aux équations (2)
(4)
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Pour
cette équation devrait être remplacée par la suivante
(4 bis)
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qui se réduit encore aux équations (2), quand on y fait
Posons alors
![{\displaystyle {\frac {q_{1}}{2\left[q^{2}-(\lambda +2n)^{2}\right]}}=\mathrm {M} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/998e9a46445bcb2f30aa5e59b6048d0cb240618f)
sera une fonction de ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
Posons pour
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{\mathrm {B} _{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc1b5d50ea3e3cdd0d1a556b1725300c604952d3)
et, au contraire, pour ![{\displaystyle n<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a251cc9b926ddfd9f5ccd94e0a60dffc6b5eea)
![{\displaystyle \alpha _{n}={\frac {\mathrm {B} _{n}}{\mathrm {B} _{n+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3044e15938d058c04552cbf107e1ac4308ddf9)
de telle façon que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {\mathrm {B} _{1}}{\mathrm {B} _{0}}},&\alpha _{2}&={\frac {\mathrm {B} _{2}}{\mathrm {B} _{1}}},&\ldots &,&\alpha _{-1}&={\frac {\mathrm {B} _{-1}}{\mathrm {B} _{0}}},&\alpha _{-2}&={\frac {\mathrm {B} _{-2}}{\mathrm {B} _{-1}}},&\ldots ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf21d7e18718d057517ec86fc02324dfcf6d639)
les équations (4) deviendront, en supposant ![{\displaystyle n>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2b90cfe174f0cf1c285539df4d03d339af13d87)
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {M} _{n}}}=\alpha _{n+1}+{\frac {1}{\mathrm {A} _{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbc87e618be88c252a7de9247e7dce085fe83d0)