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CHAPITRE XVII.
Il est clair, d’après la définition même de cette fonction, que
tendra vers
quand
tendra vers zéro. On peut donc, si
est
très petit, remplacer l’équation (2) par la suivante
(3)
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et l’approximation sera d’autant plus grande que
sera plus petit.
Cela posé, voyons quelles sont les conditions pour que l’intégrale
générale de (3) n’ait d’autre singularité que des pôles. Le
seul point singulier de l’équation (3) est le point
![{\displaystyle {\frac {\omega 'i}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77a8ecda9fc94ef66d6630641f6542654e79b85)
en appelant
et
les périodes de
En effet, pour
![{\displaystyle t={\frac {\omega 'i}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b016f449a9be532aaf8c9acb67ab39ec346905fd)
devient infini. On sait que le résidu de
est
de sorte
que nous aurons, en développant
suivant les puissances de
![{\displaystyle t-{\frac {\omega 'i}{2}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b90e21974b7206a7f5050573bc88e677d95ae4)
une série de la forme suivante
![{\displaystyle -{\frac {1}{k^{2}u^{2}}}+\alpha _{0}+\alpha _{1}u^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf81c8ad312016483eed1c642434d3a6e192728)
ne contenant que des puissances paires de ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
La condition pour que le développement de
suivant les puissances
croissantes de
commence par un terme en
s’obtient
aisément en égalant dans les deux membres de (3) les termes
en
qui sont alors les termes de degré le moins élevé ; elle s’écrit
![{\displaystyle n(n+1)=+{\frac {b}{k^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc294101bce88ef9058f34fefdfed90d0fb89da)
d’où
(4)
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