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CHAPITRE XVII.
Or nous aurons
![{\displaystyle x_{1}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d857dfccce6513bcb1ea07af973fe0b14a89238)
d’où cette conclusion :
est une fonction périodique de période
tant par rapport
à
que par rapport à
et son développement contient, comme
on le verra en appliquant la méthode du no 125, des termes en
où
et
peuvent prendre toutes les valeurs
entières possibles. Mais la fonction inverse
![{\displaystyle {\frac {1}{\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026f930a95e289e4359b8f3a1ea2ec2cd007482e)
qui est aussi périodique en
et
ne pourra contenir que des
termes en
![{\displaystyle \cos 2ny_{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1b2ddedc749664401548f4498fcf3cb871041d)
ou
![{\displaystyle \quad \cos(2y_{1}+2ny_{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b38532e97788e477c2f74c9af13ddda886da64)
étant évidemment une fonction paire tant par rapport à
que
par rapport à ![{\displaystyle y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3c8c2e01474c1a353aef6bec0e5f0aae6d3a0)
Si nous posons
![{\displaystyle u={\frac {1}{\left({\dfrac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abe431344cf9c442edb737bffb35bbde9049d5b)
l’équation (2) nous donne
![{\displaystyle q\,{\frac {du}{dy_{1}}}+{\frac {du}{dy_{2}}}=\mu \left({\frac {du}{dy_{1}}}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2}-2u\sin y_{1}\cos y_{1}\cos 2y_{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcf1b269441e919e991cc20f03c83c5b1cb14af)
Les procédés du no 125 sont applicables à cette équation bien
qu’elle ne contienne pas seulement les dérivées de
mais la
fonction
elle-même.
On trouve
![{\displaystyle u=u_{0}+\mu \,u_{1}+\mu ^{2}u_{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0390c16628acaad5df12d0e42a7c7501bfabf76e)
est une constante, et il est aisé de vérifier que
sont
bien de la forme indiquée, c’est-à-dire que
![{\displaystyle u_{i}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}^{i}\cos 2ny_{2}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}^{i}\cos(2y_{1}+2ny_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abb4006d94637db3f3427f7d66974630c55a353)
Il est aisé de former des relations de récurrence qui permettent