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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Mais alors
![{\displaystyle \left(\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}f(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6212401dc3fd714e440533a35e40788cbde52236)
restera fini. Les développements de
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba35c508916b8b82ab6913d88b2ac0fe8c3319aa)
et
![{\displaystyle \quad \left(\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}\right)^{2}f(\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8587f66441aeba9b4983c72a23a02863781c81cb)
seront donc beaucoup plus convergents que ceux de
et
On aura donc avantage à s’en servir et à en tirer ensuite
et
par une équation du second degré.
Observons, en terminant, que la discussion de la forme des
courbes
et
dans le voisinage des points
![{\displaystyle q=n,\quad q_{1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab07bc909ded5ac997619ea0e0f1a913c9ef03a)
sera singulièrement facilitée si l’on se sert du développement
de
et de
au lieu de celui de ![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d443441225b1326fd4cbbdd2029beb82dd23b4d)
Ce qui précède constitue la théorie complète de notre équation (1). Je dois toutefois parler des diverses méthodes qui ont été
proposées pour l’intégrer et qui sont celle qui est fondée sur
l’application des théorèmes de Jacobi, et celles de MM. Gyldén,
Bruns, Hill et Lindstedt.
Méthode de Jacobi.
181.On peut appliquer à l’équation (1) la méthode exposée en
détail au Chapitre IX avec cette différence que les séries seraient
certainement convergentes. L’équation (1) rentre en effet comme
cas particulier dans l’équation (3) du no 2. Or nous avons vu que
cette équation du no 2 pouvait être ramenée à la forme canonique
des équations de Jacobi.
Si donc nous posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {\frac {2x_{1}}{q}}}\sin y_{1},&{\frac {dx}{dt}}&={\sqrt {2qx_{1}}}\cos y_{1},&y_{2}&=t,&q&=\mu q_{1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2fda6cc17fcb49631b394e1f20986a37d1006b)
et
![{\displaystyle \mathrm {F} =-qx_{1}-x_{2}+\mu x_{1}\sin ^{2}y_{1}\cos 2y_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e323311c9706629eb2b0c43b7bd33c71d75147d7)
l’équation
(1)
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