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CHAPITRE XVII.
et
doit en être une combinaison linéaire ; cela ne peut avoir
lieu que si
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}=\mathrm {B} _{n}=\mathrm {C} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1ee7eab63473c43f1a651520dca148e3cf2194)
Il en résulte que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t={\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} _{n}}{2i}}e^{i(h+2n)t}-{\textstyle \sum }\,{\frac {\mathrm {A} _{n}}{2i}}e^{-i(h+2n)t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1090eebce4586fbc70b3daa9b2b1192cd658d836)
satisfera également à l’équation (1) et, par conséquent, que
![{\displaystyle f(t)={\frac {{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t}{{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n)}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58a441f044f871e0a673e5203e34b24131ccab1)
Il est clair que
est une fonction de
et de
mais ce n’est
plus une fonction entière de ces deux variables comme l’était
Ce n’est même pas une fonction uniforme. Il est évident
que les seuls points singuliers de cette fonction sont les points
des courbes
![{\displaystyle \cos h\pi =\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e5fba7178b2ef053354eba34dc9535204d7122)
pour lesquels les fonctions
et
cessent de pouvoir être
mises sous la forme que nous venons de leur donner.
Comment se comporte la fonction
dans le voisinage d’un de
ces points singuliers ?
Supposons que le point
se rapproche indéfiniment d’un
point M appartenant à la courbe
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136beb8a33a915f99ca353b36eecd25e0f57681b)
et que
tende vers une valeur entière
alors, à la limite,
est encore périodique. Posons, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {B} ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}(h+2n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1077e81c4ed9184bf88553111f56a1c934d4913)
il viendra, en réunissant dans
et
les termes en
et en ![{\displaystyle (h-2n-2p)t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5f38b3401dd851040bda14bf4e784b3f465221)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {A} _{n}\cos(h+2n)t+\mathrm {A} _{-n-p}\cos(h-2n-2p)t\right],\\\mathrm {B} \,f(t)&={\textstyle \sum }\,\left[\mathrm {A} _{n}\sin(h+2n)t\,+\mathrm {A} _{-n-p}\sin(h-2n-2p)t\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3700597206c80fd30eb2b07aa987f24bf4d94bfc)
Si nous faisons alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{-n-p}&=\mathrm {C} ,&\mathrm {A} _{n}-\mathrm {A} _{-n-p}&=\mathrm {D} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacbffdd46ce5f0534a555542b4f04138a043da6)