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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
Il y a donc quatre courbes analytiquement distinctes :
(α) |
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c849e0e2522bf48fd8644c048590a0e843a5512c) |
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d056cb60e2f4b3976917c1187cbb84c617c9660) |
|
(β) |
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c849e0e2522bf48fd8644c048590a0e843a5512c) |
![{\displaystyle \;f\,(\pi )=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a11f7f5ef1c5ad138ff4598050b59f434d66b4) |
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(γ) |
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bdb7c39f483c3e4641bf05599f3846d7649952) |
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d056cb60e2f4b3976917c1187cbb84c617c9660) |
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(δ) |
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bdb7c39f483c3e4641bf05599f3846d7649952) |
![{\displaystyle \;f\,(\pi )=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09a11f7f5ef1c5ad138ff4598050b59f434d66b4) |
|
La courbe
est alors formée de l’ensemble des deux courbes
(α) et (β) ; chacune d’elles a un point simple en
![{\displaystyle q=2n,\quad q_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa60058af8fbf66a3e3dbc1f93c8165be448ea0a)
et c’est pour cette raison que ce point est un point double de
mais les deux branches de
qui passent en ce point, appartenant
ainsi à deux courbes analytiquement distinctes, ne peuvent être que réelles.
Il y a exception pour l’origine
![{\displaystyle q=0,\quad q_{1}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad5b018746830e99706f7c24ea3a849c78692d3)
ce point est un point double de (α), mais n’appartient pas à (β) ; d’après
ce que nous venons de dire, le raisonnement qui précède ne s’applique
donc pas et nous avons vu d’ailleurs que les deux branches
de courbe sont alors imaginaires.
De même, la courbe
est formée de l’ensemble des deux
courbes (α) et (β) ; chacune d’elles a un point simple en
![{\displaystyle q=2n+1,\quad q_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4446ad8b1609f40c11d5987e5087971c090df8c2)
Les deux branches de
qui passent par ce point appartiennent
à deux courbes analytiquement distinctes et sont par conséquent réelles.
Nous avons vu plus haut que changer
en
c’est la même
chose que de changer
en
Considérons d’abord la courbe (α)
![{\displaystyle \mathrm {F} (t+\pi )=\mathrm {F} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4a15c88efcfa6956af8880058a8b18b2be3a77)
On a
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)=\mathrm {F} (-t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82990c4383a7a8a42e9c9b90613c7f104041f9c2)