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CHAPITRE XVII.
On peut arriver au même résultat de la façon suivante ; on a
identiquement
![{\displaystyle \mathrm {F} (t)\,f'(t)-\mathrm {F} '(t)\,f(t)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42154f6d78a9be4276bac16aea98440f38c22ff0)
Si alors
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\pm 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f5e22fb6e454454324f77b28df8f888422205e)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )\,f(\pi )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e4404f82d08ddb9410f85a239a6874a1135ac03)
Donc l’une au moins des deux quantités
et
est nulle.
De même, si
![{\displaystyle \mathrm {F} '(\pi )=0\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f5b31c02dd9d4f6cdf5a2f49591e94b21e2190)
ou
![{\displaystyle \quad f(\pi )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06017ca9b427323c3ef0c196792ce9973d00363a)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )\,f'(\pi )=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a39b7fe319bec24fe6b9cfa8d8e722cbb0d0986)
et puisque
![{\displaystyle \mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\cos h\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c546597b351a4cc1cd91afce8c7ad4b9cf97eac1)
il viendra
![{\displaystyle \cos h\pi =\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706175d00b6de4f1ceedfe3b0273b09f1da44c70)
Les différents points des deux courbes
et
appartiennent
donc aux deux courbes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=0,&f(\pi )&=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d2a7ea6fa94f1715ebba3f3ca6ae41044b69c3)
et réciproquement.
Remarquons d’abord que
et
sont des fonctions
entières de
et de
Pour
ces fonctions se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=-q\sin q\pi ,&f(\pi )&={\frac {\sin q\pi }{q}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1fc8c414600778e1e20430fa63392c60ec8c70c)
Donc, si
passe par une valeur entière différente de 0,
et
s’annulent en changeant de signe, et ces valeurs de
sont
pour ces deux fonctions des zéros simples. Il en résulte que les
points
(
entier,
),
qui sont des points doubles, tantôt pour
tantôt pour
sont
des points simples pour chacune des deux courbes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} '(\pi )&=0,&f(\pi )&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707d53825249baa5cd4b220498656c2b139cd5de)
Si
passe par 0,
s’annule sans changer de signe (zéro
double) et
ne s’annule pas ; l’origine est donc un point double
pour
mais
ne s’annule pas à l’origine.