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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
et son développement suivant les puissances de et de
commence par des termes du second degré
Si et sont de signe différent et les deux branches
de courbe qui passent par le point double sont réelles.
Si est nul, les deux branches de courbe sont tangentes
(et probablement osculatrices) l’une à l’autre ; pour décider
si elles sont réelles, il faut employer le procédé indirect dont j’ai
parlé plus haut.
Voici en quoi il consiste.
On peut se demander ce qui se passe quand on a
Alors, d’après ce que nous avons vu au no 29, la solution la plus
générale de l’équation (1) est de la forme
et étant des fonctions périodiques de de période si
et de période si (elles changent alors
de signe quand se change en ). On a donc
Si n’est pas nul, c’est une solution de l’équation (1) ; or,
est une fonction paire ; donc est paire et impaire ;
donc se réduit à un facteur constant près à alors
est périodique.
Si est identiquement nul, est périodique.
Trois cas peuvent donc se présenter :
1o Ou bien est périodique, et alors
2o Ou bien est périodique, et alors
3o Ou bien ces deux fonctions sont périodiques toutes deux, et alors