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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
dans le développement de
le coefficient de
devient
infini pour
0 ou 1, celui de
pour
0, 1 ou 2, celui
de
pour
0, 1, 2 ou 3 ; il en résulte que, si
tend vers un
entier
le développement de
commencera par un terme en
d’autre part, le développement de
commence par
un terme en
C’est pour cette raison que dans les développements de
![{\displaystyle \cos h\pi -(-1)^{q},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62d521937f3f24c6ce461f42eb233997c26d8bf)
trouvés par M. Tisserand, le premier terme est en
pour
0
ou 1 et en
pour
1.
Considérons donc l’équation de la courbe
qui peut s’écrire
![{\displaystyle 1-\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-q_{1}^{4}\mathrm {F} _{4}(\pi )-\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ff27250b7a871e9549ae84d0bca24069424bb3a)
La courbe passant par le point
![{\displaystyle q=2n,\quad q_{1}=0\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9150ce454436a6cb89520684431d5b8904ba1dbc)
(
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
entier),
le premier membre s’annule pour
il est d’ailleurs
développable suivant les puissances croissantes de
et de
il est aisé de voir que ce développement ne contient ni terme de
degré 0 ni terme de degré 1, mais qu’il commence par des termes
du second degré
![{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}\left(q-2n\right)^{2}+\mathrm {A} \,q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403265db832bfb5e62025ee96a0e80e37c69ef58)
étant égal à
![{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3590225be934f51361cfe63a7c969f84c048edc3)
pour
![{\displaystyle \quad n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8dd496fbcb21e47bf47207960607530b0aecb1)
et à 0 pour ![{\displaystyle n\gtrless 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba171bb1c6f328b23843f081238e841cc9d1be98)
Il en résulte que le point
est pour la courbe
un point double ; mais deux cas sont à distinguer :
1o Si
les termes du second degré se réduisent à la somme
de deux carrés, les deux branches de courbe qui passent par le
point double sont imaginaires ; l’origine est donc pour la courbe
un point isolé.
2o Si
est nul ; les deux branches de courbe qui passent
par le point double sont tangentes l’une à l’autre et coupent
l’axe des
à angle droit. Pour reconnaître si ces deux branches
sont réelles ou imaginaires, il faut tenir compte des termes en
et en