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CHAPITRE XVII.
Tous les autres points de l’axe des
appartiennent à la première
région, celle où
est réel.
Reprenons alors l’équation
![{\displaystyle \cos h\pi =\cos q\pi -q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(\pi )-q_{1}^{4}\mathrm {F} _{4}(\pi )-\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7009c1dbb9251d04a368a21c0dfac967f11eb27)
qui lie
à
et à
le premier membre s’annule pour
il est développable suivant les puissances croissantes de
et de
enfin sa dérivée par rapport à
se réduit à
pour
et par conséquent ne s’annule pas
à moins que
ne soit entier. Si donc nous supposons que
n’est
pas entier, le théorème du no 30 nous apprend que
est développable
suivant les puissances croissantes de
et que la série est
convergente pourvu que
soit assez petit.
Voyons maintenant ce qui se passe quand
est entier. M. Tisserand,
en appliquant sa formule, a trouvé : pour
![{\displaystyle \cos h\pi =(-1)^{q}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{512q^{2}(1-q^{2})^{2}}}q_{1}^{4}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6b8e084e64ff93f18989834677b1b7ac900de3)
pour ![{\displaystyle |q|=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feeb0f3e6d492b325b07fc63b2d1afcea29b6905)
![{\displaystyle \cos h\pi =1+{\frac {5\pi ^{2}q_{1}^{4}}{73728}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba18bde91171263e9dfcbb263f066f4013aea90)
pour ![{\displaystyle |q|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5678803d701a5cf4019dfbeb476ec02c05ce7009)
![{\displaystyle \cos h\pi =-1-{\frac {\pi ^{2}q_{1}^{2}}{32}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55323f7167fa9891119498e2eb874e4897480bb3)
et enfin pour ![{\displaystyle |q|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42a64666ae7672ac0f77420715618630c260be4)
![{\displaystyle \cos h\pi =1-{\frac {\pi ^{2}q_{1}^{2}}{16}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e2a69300d3004414a1e23109ea523ff4135a99)
En effet, quand
est entier,
devient égal à
et
s’annule ; mais il arrive en même temps que
devient
infini ; de sorte que le produit
![{\displaystyle \sin q\pi \,\varphi _{1}(q,q_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd3f86f5384ab134ad33ea9797ee934702ed574)
tend vers une valeur finie quand
tend vers un nombre entier.
Considérons alors la limite
![{\displaystyle \mathrm {L} =\lim \sin q\pi \,\varphi _{1}(q,q_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a8add749fa2cfcae70624d55d0a90ec37f4f5a)
quand
tend vers une valeur entière.
Cette limite sera développable suivant les puissances de
mais,