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CALCUL FORMEL.
Posons
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603c2ec5a06a18878d1e46f9a38e474097638ba7)
il viendra
(5)
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Soit une série divergente
![{\displaystyle \mathrm {S} =f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a4422529f3a19d669b48350a6a20bdc252f070)
qui satisfasse formellement à l’équation (4).
Formons la série
![{\displaystyle \mathrm {S} '=f'_{0}+\mu f'_{1}+\mu ^{2}f'_{2}+\dots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000929a991ac405bf43e1536d971a1c9910ad392)
obtenue en différentiant chaque terme par rapport à ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Je dis que les deux séries
et
satisferont formellement aux
deux équations (4) et (5).
Soit, en effet,
et
la somme des
premiers termes de
et de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} '_{p}={\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766310c6c0259ced53f513fc627e29a5ea7986f6)
Posons
![{\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {X} (x,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86717fa81a0f76a739ec789ad9e8297d9d12b801)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+y\,{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {Y} (x,y,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903c43343970063de73c9584ed45c7f5c9fa699e)
Je dis que la différence
![{\displaystyle \mathrm {Y} (\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p},t)-{\frac {d\mathrm {S} '_{p}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce0fd7203c425de8c0d7a368ce02540a3fabb00)
est divisible par ![{\displaystyle \mu ^{p+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68271d08fdde676ea8f2581373a3dd102750f039)
En effet, par hypothèse, la différence
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {X} (\mathrm {S} _{p},t)-{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30186b556efe14d5db111145ffa3d10a6af4abc5)
est divisible par
il doit donc en être de même de sa dérivée
C.Q.F.D.