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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
ce que j’écrirai
![{\displaystyle \cos h\pi =\varphi (q,q_{1})\cos q\pi +\varphi _{1}(q,q_{1})\sin q\pi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7970f587506daede06ffbb5d67ae2de127cd05)
et
seront des séries développées suivant les
puissances croissantes de
dont les coefficients seront rationnels
en ![{\displaystyle q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095)
La première question à résoudre est de savoir si
est réel ou
imaginaire. Si
![{\displaystyle \left|\cos h\pi \right|=\left|\mathrm {F} (\pi )\right|<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336f56123d1678465f4ac849b9c0fca60bfc2f9b)
est réel, la solution de notre équation différentielle est alors
stable et
de même que
reste compris entre des limites
finies. Si au contraire
![{\displaystyle \left|\mathrm {F} (\pi )\right|>1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc317c0b7f5ec11f3c06b767f1a26643015d1062)
est imaginaire ; et les deux fonctions
et
sont de la
forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {F} (t)&=&&e^{\alpha \tau }\psi (t)&{}+{}&&&e^{-\alpha \tau }\psi (-t)\\f(t)&=\mathrm {A} &\,&e^{\alpha \tau }\psi (t)&{}-{}&\mathrm {A} &\,&e^{-\alpha \tau }\psi (-t)\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bad2d088ebf9496f7cb11f57fa7046a1f42da0)
et
étant des constantes réelles et
une fonction périodique
de
de période
Il en résulte que
et
peuvent croître
au delà de toute limite et que la solution de notre équation différentielle
est instable.
Si l’on considère un instant
et
comme les coordonnées d’un
point dans un plan, ce plan va se trouver partagé ainsi en deux
régions, l’une où
sera plus petit que 1 et
réel, l’autre où
sera plus grand que 1 et
imaginaire. Ces deux régions
sont séparées l’une de l’autre par les diverses branches des deux
courbes
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos h\pi &=+1,&\cos h\pi &=-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13181e68620f0d9613b67a9574ef34e1a71971a6)
Il y a donc intérêt à construire ces deux courbes au moins dans la
partie du plan qui correspond aux petites valeurs de ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
Pour
on a
![{\displaystyle \cos h\pi =\cos q\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031c6d98b393035f0f929a960b57f2156215608a)
Donc la courbe
que j’appellerai la courbe
coupe
l’axe des
en des points dont les abscisses sont des entiers pairs,
et la courbe
que j’appellerai la courbe
coupe
l’axe des
aux points dont les abscisses sont des entiers impairs.