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CHAPITRE XVII.
On voit d’ailleurs que
est égal
La loi est manifeste,
on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{i}(t)=&{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right]+t{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{1}\sin(q+2n)t\\&+t^{2}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{2}\cos(q+2n)t+\ldots +t^{k}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{k}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}(q+2n)t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d3725e36c763c64151bd2186f3b5a0f48b7695)
La fonction
devant être paire, le coefficient de ![{\displaystyle t^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5727a7a073aaa5e7aa9be88d358972f336f16fdb)
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{k}{\begin{array}{c}\sin \\\cos \end{array}}(q+2n)t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8521c8075fd58b4970179786ed30c143891c79d)
ne contiendra que des sinus si
est impair et des cosinus si
est pair.
Quelles sont maintenant les valeurs que peut prendre l’entier
?
Dans le premier terme
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{0}\left[\cos(q+2n)t-\cos qt\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c986e3db7b33e03283d33b906408d72428dada)
variera de
à
dans le coefficient de
pourra
varier de
à
dans le coefficient de
pourra varier de
à
et ainsi de suite,
de sorte que
ne pourra surpasser ![{\displaystyle {\frac {i}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0280d382fc550b4ef0e680dccf42abba39a171)
On peut trouver à l’aide des équations (5) des relations de
récurrence entre les coefficients
je ne m’y arrêterai pas pour
le moment.
Lorsqu’on fera
on aura
![{\displaystyle \cos(q+2n)\pi -\cos q\pi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a64326bbad9a8f50802d3f2f296feaaa112e3b)
et le premier terme de
disparaîtra ; de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {F} _{i}(\pi )=\pi {\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{1}\sin q\pi +\pi ^{2}{\textstyle \sum }\,\beta _{i.n}^{2}\cos q\pi +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c5479df6c07f5a6984f323743939a7f2b7687e5)
Nous savons d’ailleurs que
sera nul si
est impair, puisque
nous savons d’avance que le développement de
ne doit contenir
que des puissances paires de ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
C’est ainsi que M. Tisserand calcule
et, par conséquent,
Il trouve ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos h\pi &=\cos q\pi {\bigg [}1-{\frac {\pi ^{2}}{512q^{2}(1-q^{2})^{2}}}q_{1}^{4}+\ldots {\bigg ]}\\&+\sin q\pi {\bigg [}-{\frac {\pi }{16q(1-q^{2})}}q_{1}^{2}+{\frac {(15q^{4}-35q^{2}+8)\pi }{1024q^{3}(1-q^{2})^{3}(2^{2}-q^{2})}}q_{1}^{4}+\ldots {\bigg ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fdaa3c21f45cc9908f0fb5f9c0d2d4c81b47148)