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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

On a donc

$\mathrm {F} (\pi )=f'(\pi )=\cos h\pi .$

179.Voyons maintenant comment on peut obtenir le développement de $\mathrm {F} (\pi )$ suivant les puissances croissantes de $q_{1}.$

Supposons que l’on cherche plus généralement le développement de $\mathrm {F} (t)$ et posons

$\mathrm {F} (t)=\mathrm {F} _{0}(t)+q_{1}\mathrm {F} _{1}(t)+q_{1}^{2}\mathrm {F} _{2}(t)+\ldots ;$

nous aurons, pour déterminer $\mathrm {F} _{0},\,\mathrm {F} _{1},\,\mathrm {F} _{2},\,\ldots ,$ la série d’équations suivantes

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{0}&=0,\\{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{1}&=\mathrm {F} _{0}\cos 2t,\\{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{2}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{2}&=\mathrm {F} _{1}\cos 2t,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

De plus les fonctions $\mathrm {F} _{i}$ doivent être paires ; $\mathrm {F} _{0}$ doit se réduire à 1 et les autres fonctions $f_{i}$ à 0 pour $t=0.$

On en conclut d’abord que

$\mathrm {F} _{0}(t)=\cos qt$

${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{1}={\frac {\cos(q+2)t}{2}}+{\frac {\cos(q-2)t}{2}}$

et

$\mathrm {F} _{1}(t)=-{\frac {\cos(q+2)t-\cos qt}{8(q+1)}}+{\frac {\cos(q-2)t-\cos qt}{8(q-1)}}$

Il vient ensuite

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{2}}{dt^{2}}}+q^{2}\mathrm {F} _{2}&=\alpha _{0}\cos(q+4)t+\alpha _{1}\cos(q+2)t\\&+\alpha _{2}\cos qt+\alpha _{3}\cos(q-2)t+\alpha _{4}cos(q-4)t,\end{aligned}}$

$\alpha _{0},\,\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3},\,\alpha _{4}$ étant des coefficients faciles à calculer, et l’on en déduit

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{2}=&-{\frac {\alpha _{0}\cos(q\!+\!4)t}{8(q\!+\!2)}}-{\frac {\alpha _{1}\cos(q\!+\!2)t}{4(q\!+\!1)}}+{\frac {\alpha _{3}\cos(q\!-\!2)t}{4(q\!-\!1)}}+{\frac {\alpha _{4}\cos(q\!-\!4)t}{8(q\!-\!2)}}\\&+{\frac {\alpha _{0}\cos qt}{8(q+2)}}+{\frac {\alpha _{1}\cos qt}{4(q+1)}}-{\frac {\alpha _{3}\cos qt}{4(q-1)}}-{\frac {\alpha _{4}\cos qt}{8(q-2)}}+{\frac {\alpha _{2}t\sin qt}{2q}}\cdot \end{aligned}}$