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CHAPITRE XVII.
Si, en effet, on change
en
les solutions
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{iht}\varphi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\varphi _{2}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f043f466a9b7b52def9e12ccb7359b1138272fb)
deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{iht}\psi _{1}(t),&x&=e^{-iht}\psi _{2}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f1a88c0529fad9a59f37ba600d91189e1e9853)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(t)&=e^{\frac {ih\pi }{2}}\,\varphi _{1}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right),&\psi _{2}(t)&=e^{-{\frac {ih\pi }{2}}}\,\varphi _{2}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0def08a6281a56eafc7c437a62c0f738c1498339)
sont des fonctions périodiques en
Par conséquent, les exposants
caractéristiques ne changent pas.
En même temps, comme
![{\displaystyle \cos 2\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos 2t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48453fc3accfec46b146bf2a529405f688e725c)
l’équation (1) devient
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=x\left(-q^{2}-q_{1}\cos 2t\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209369b24951ce3d70853bb8f63f89fab542728b)
ce qui veut dire que les exposants caractéristiques et, par conséquent
ne changent pas quand on change
en
Or
cela ne peut avoir lieu que si le développement de
ne contient
que des puissances paires de ![{\displaystyle q_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a57d235ef56f925cd45834ed3f5c36c34a299c0)
Observons maintenant que l’équation (1) ne change pas quand
on change
en
; il résulte de là que
est une fonction
paire de
et
une fonction impaire, c’est-à-dire que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&=\mathrm {F} (-t),&f(t)&=-f(-t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d2d566a64e4aeb93081d3d9f2487417ae8ca6a)
Or les solutions de l’équation (1) sont développables suivant
les cosinus et les sinus de
étant un entier positif
et négatif. IL résulte de là que
ne contiendra que des cosinus
pendant que
ne contiendra que des sinus. On aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos(h+2m)t,\\f(t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}\cos(h+2m)t,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1121948c5e524bd8b2be62739f76c21725ad3e)
variant de
à
Il vient alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (0)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}=1,\\\mathrm {F} (\pi )&={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos(h\pi +2m\pi )={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m}\cos h\pi =\cos h\pi ,\\f'(t)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)\cos(h+2m)t,\\f'(0)&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)=1,\\f'(\pi )&={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{m}(h+2m)\cos(h+2m)\pi =\cos h\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6379f9add93b4081ad7a558392b64e2d7d97858)