230
CHAPITRE XVII.
deux exposants caractéristiques
et
étant égaux
et de signe contraire.
Pour aller plus loin, nous allons faire usage d’un théorème
général que j’ai démontré dans mon Mémoire sur les groupes des
équations linéaires (Acta mathematica, t. IV, p. 212).
Soit une équation linéaire de la forme suivante
(4)
|
|
|
Les coefficients
sont des fonctions, non seulement de
mais d’un certain nombre de paramètres dont elles dépendent
linéairement.
Supposons, par exemple, qu’il y ait trois paramètres et appelons-les
et
Alors la fonction
sera de la forme
![{\displaystyle \varphi _{i}(x)=\mathrm {A} \varphi _{i}'(x)+\mathrm {B} \varphi _{i}''(x)+\mathrm {C} \varphi _{i}'''(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93dc61e7c017784624e32935b0e1e1c6263b2d6)
Les fonctions
et
seront continues, ainsi que
toutes leurs dérivées, dans l’intérieur d’un domaine d’où nous ne
ferons pas sortir ![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Cela posé, donnons-nous les valeurs initiales de
et de ses
premières dérivées au point
et faisons varier
depuis 0,
jusqu’à une certaine valeur
en suivant un chemin déterminé.
Soit
la valeur que prendra
quand
arrivera au point
Il
est clair que
dépendra :
1o Des valeurs initiales de
et de ses dérivées (il en dépendra
d’ailleurs linéairement) ;
2o Des paramètres
Eh bien, le théorème en question, c’est que
peut être développé
en une série procédant suivant les puissances croissantes de
et
et que cette série convergera, quelles que soient les
valeurs de ces trois quantités ; ou, en d’autres termes, que
sera
une fonction entière de
et
Appliquons ce théorème à l’équation (1).
Soit
une intégrale particulière de cette équation telle que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} (0)&=1,&\mathrm {F} '(0)&=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40b40714543ce96379ecf861fe145fe5141a252)
[je désigne pour abréger
par
].