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CHAPITRE XVI.
La fonction
ainsi définie sera notre nouvelle variable indépendante ;
elle différera peu de
puisqu’elle satisfera à l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dfrac {dv_{0}}{dt}}\right)}{dt}}={\frac {\mathrm {Q} _{0}}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a1e865fe70141368ccfd041283956ecf19a5f5)
tandis que
satisfait à l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dfrac {dv}{dt}}\right)}{dt}}={\frac {d\Omega }{dv}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e79eaf8eba018720e08e4d5fe1a7e2aba82467)
qui n’en diffère que par l’addition de certains termes que nous
avons supposés très petits. Nous poserons donc
![{\displaystyle v=v_{0}+\chi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4718cdf037aa383d3dc5a3656d998c531919f1bd)
Des équations (2) et (3) on tire
(4)
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Or, nous avons supposé que pour obtenir
on remplaçait
dans
les coordonnées
et
par leurs valeurs approchées
en fonction de
puis
par ![{\displaystyle v_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ea1b2de969559c097b8c50fea2bb10bfd11668)
Il en résulte que
est fonction de
seulement, et que
l’équation (4) s’intégrera aisément par quadratures.
La seconde équation (1) devient alors
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\log c_{1}}{dv_{0}}}{\frac {du}{dv_{0}}}+u\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{c_{1}}}={\frac {r^{2}}{c_{1}}}{\frac {d\Omega }{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec7d53949dc343ce8f339f33a85daa0b8f2663c)
Il est clair que,
étant très petit,
est très voisin de 1 ; on peut
donc remplacer le coefficient
par 1, dans une première
approximation ; si donc
est la valeur approchée de
et que
nous posions
![{\displaystyle u=u_{1}+\rho ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2f1429d955a31f7f493b4f842a1d145ce97af6)
nous pourrons définir
par l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u_{1}}{dv_{0}^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\log c_{1}}{dv_{0}}}{\frac {du_{1}}{dv_{0}}}+u_{1}+{\frac {\mu }{c_{1}}}={\frac {\mathrm {P} _{0}}{c_{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d741c231a19526b363dc7d69a3e631bd0b1e22)