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CALCUL FORMEL.
Il n’y aurait d’exception que si la solution particulière
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\theta _{1}(t,0),&x_{2}&=\theta _{2}(t,0),&&\dots ,&x_{n}&=\theta _{n}(t,0),&\mu =0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6f9189929e05203a47699dc4403c4660ffe236)
allait, pour l’une des valeurs de
que l’on a à considérer, passer
par un des points singuliers de l’équation différentielle (j’appelle
ainsi, comme dans le Chap. II, no 27, les systèmes de valeurs de
et
pour lesquels
les
cessent d’être des fonctions holomorphes).
On pourra donc, ainsi que nous l’avons vu au no 27, trouver
deux nombres positifs
et
tels que
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}-{\frac {d\varphi _{p,i}}{dt}}\ll {\frac {\mathrm {M} }{1-\alpha (\mu +\mu ^{p+1}\xi _{1}+\dots +\mu ^{p+1}\xi _{n})}}\arg(\mu ,\xi _{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75f6263055b27cce5e4c645180db8fc02a9fac1)
Mais par hypothèse les séries
satisfont formellement
aux équations (3). Cela veut dire que si l’on fait
![{\displaystyle \xi _{1}=\xi _{2}=\dots =\xi _{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6786bad40340407246b8b780dec614ddaea4c331)
d’où
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{p,i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9c5f5359f99c6b793d17533aa97aed5c6c2a00)
les différences
deviendront divisibles par
Nous
avons donc
(5)
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Si nous appelons pour abréger
le second membre de
l’inégalité (5), et que nous posions
![{\displaystyle \mathrm {X} _{i}-{\frac {d\varphi _{p,i}}{dt}}=\mu ^{p+1}\mathrm {Y} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4523f59361a6cf1e7f619a5d781b46bf8147e44)
les équations (3) deviendront
(6)
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avec la condition
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{i}\ll \mathrm {Z} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715dbd21b474cd1205bd09462bad69122b605ec9)
Considérons la solution particulière des équations (6) qui est