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CHAPITRE XV.
Supposons maintenant qu’on revienne aux équations numérotées
(1) à (6) et que l’on envisage dans les équations (1) à (4)
les termes de degré 0 par rapport aux
et dans les équations (5)
et (6) les termes de degré 0 ou 1 par rapport aux
on obtiendra
des équations dont la forme différera un peu de celle des équations
numérotées (7) à (14) sur lesquelles par conséquent il
est nécessaire de revenir.
Cette différence de forme provient d’abord de ce que
est
nul si
et, d’autre part, de ce que,
et
étant des constantes,
![{\displaystyle \Delta \xi _{i}^{0.q}=\Delta \eta _{i}^{0.q}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe68184dad9dc442624a0f06934ec645e5b81c4)
Il nous suffira d’ailleurs de considérer les équations (1), (2),
(5) et (6) dont (3) et (4) se déduisent immédiatement. Posons,
pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}^{0}&=\xi _{i}^{0.1}+\xi _{i}^{0.2}+\ldots ,\\\xi _{i}^{1}&=\xi _{i}^{1.0}+\xi _{i}^{1.1}+\xi _{i}^{1.2}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1a2dc9af7aaa2a6fd43a309f316499372ae4fd)
Définissons de même
et
et soit
le résultat de la substitution
de
et de
dans
à la place de
et
Les termes de degré 0 de (1) et (2) nous donneront
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}^{0}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94ccbef5bf842744bd9354c9cd9408c3348572e)
Ces deux équations nous permettront de déterminer par récurrence
les
et
Les termes de degré 0 et 1 de (5) nous donneront
![{\displaystyle \mathrm {F} ^{\star }=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b539b419f7cbf1f65d88deb65ad4d9f5c8efb7af)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\xi _{i}^{0}}}\xi _{i}^{1}+{\frac {d\mathrm {F} ^{\star }}{d\eta _{i}^{0}}}\eta _{i}^{1}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8a8b01f6135b03288881a8f7a4f2f62432a289)
La première de ces deux équations nous permet de déterminer
la constante du deuxième membre [qui ne peut pas être choisie
arbitrairement comme pouvait l’être la constante de l’équation (8)
quand on supposait
].
La seconde équation est satisfaite d’elle-même et la constante
du deuxième membre doit être nulle, puisque les deux dérivées
de
sont nulles.