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CALCUL FORMEL.
Qu’on me permette d’en citer ici encore un autre exemple qui
présente quelques particularités intéressantes et qui nous sera
peut-être utile dans la suite.
Soit
un nombre positif plus petit que 1.
La série
(1)
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converge pour toutes les valeurs de
et de
telles que
![{\displaystyle |w|<w_{0},\qquad \mu \geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6b579f29cffe547bcd9f23b20b3103d9568646)
De plus la convergence est absolue et uniforme.
Nous avons, d’autre part,
![{\displaystyle {\frac {w^{n}}{1+n\mu }}=\textstyle \sum _{p}w^{n}(-1)^{p}n^{p}\mu ^{p}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a3182792041773b88d7f232876d9716c2850e0)
on peut donc être tenté d’égaler
à la série à double entrée
![{\displaystyle \textstyle \sum _{n}\sum _{p}w^{n}(-1)^{p}n^{p}\mu ^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6e81c50f153689470e7d95d2427607372e6e05)
Mais cette série ne converge pas absolument.
Ordonnons-en toutefois les termes suivant les puissances croissantes
de
il viendra
(2)
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où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{0}&=\sum w^{n}\ &\mathrm {A} _{1}&=\textstyle \sum nw^{n}\ &\mathrm {A} _{2}&=\textstyle \sum n^{2}w^{n}\ &\mathrm {A} _{3}&=\textstyle \sum n^{3}w^{n}\ &\dots &\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e717643cbd907a85f645068015c14abb9152731)
La série (2), ordonnée suivant les puissances croissantes de
diverge. On a, en supposant
réel positif pour fixer les idées,
![{\displaystyle k^{k}w^{k}<\mathrm {A} _{k}<{\frac {k!}{(1-w)^{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1b2e15fbd5ab84c4bbba4d62a7c4817a292a57)
Il est clair que la série
![{\displaystyle \sum (-k\,w\,\mu )^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db356641ab3cee13bc8fdbe1f885e8c3abeb5e7)
diverge et qu’il en est de même a fortiori de la série (2). Mais
si l’on envisage la série
![{\displaystyle \sum {\frac {(-\mu )^{k}k!}{(1-w)^{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c95e5e89627e993850ea9029252a4c356f6c5e6)