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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
blème des trois Corps, ne dépendant que des quatre arguments
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}',\quad w_{2}'\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9827aea8e0c18677b4c286a63b6006943a6acfa7)
ce sont les solutions correspondant aux cas du Problème des trois
Corps dans le plan. Le nombre des arguments est ici réduit à 4
comme celui des degrés de liberté.
Mais on peut observer que les
les
et les expressions (26)
ne dépendent que des différences
![{\displaystyle w_{2}-w_{1},\quad w_{1}'-w_{1},\quad w_{2}'-w_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6338b58b8a92d2cb83da8d32dc807fe7cf8c7c73)
ainsi que nous l’avons vu au no 154.
Si donc on prend comme variables
et ces expressions (26),
le nombre des arguments est réduit à 3. Cela correspond au cas
du problème du no 5, où il y a 3 degrés de liberté.
Imaginons maintenant que la masse de la première planète soit
infiniment petite (cas d’une petite planète troublée par Jupiter).
Il arrivera d’abord que
![{\displaystyle \sigma _{2},\quad \tau _{2},\quad \sigma _{4},\quad \tau _{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f53c4195468fac3e81e8857325763fa82acbbd)
se réduiront à
![{\displaystyle \xi ',\quad \eta ',\quad p',\quad q'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8a0af89973daf14c8979b8d595d2885b1d7027)
Ces quantités, de même que
seront des constantes et
se réduira
à
Il résulte de là que
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{2}'&={\frac {dw_{2}'}{dt}}=0,\\n_{4}'&={\frac {dw_{4}'}{dt}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754cfbc8e3b2ac892c79db49d9c5eec381f05126)
Le nombre de nos arguments, qui était de 6, est réduit à 4, à savoir
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad w_{1}',\quad w_{3}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0978e97af9ce06237e7386ad61d95fe28c2195e7)
Il n’arrive plus ici que
ne dépendent que des différences
![{\displaystyle w_{1}-w_{2},\quad w_{1}'-w_{2},\quad w_{3}'-w_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d501ee16e0dd88b90a1f382223f4e301d24e50f9)
Le raisonnement du no 154 ne nous apprend, en effet, qu’une
chose, c’est que, dans le cas général,
dépend seulement des cinq
différences
![{\displaystyle w_{2}-w_{1},\quad w_{i}'-w_{1}\quad (i=1,\,2,\,3,\,4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c4cd9c861fa914ba8cf804952dbd027a6b0a966)