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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
et les
ne changent pas, les
et les
changent de signe
quand les
et les
changent de signe.
Cela veut dire que le développement des
et des
ne contient
que des cosinus, tandis que celui des
et des
ne contient que
des sinus.
De même tout est symétrique par rapport au plan des
et l’on
peut en tirer d’autres conclusions.
Supposons qu’on ait affaire au Problème des trois Corps dans
l’espace, et soient
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4},\\\lambda ,&\lambda ',&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c1711887eac3181e7277fb9425abb5021d37c6)
Les troisième et quatrième paires de variables définissent
les excentricités et les périhélies ; les deux dernières paires de
variables définissent les inclinaisons et les nœuds.
En vertu de la symétrie que je viens de signaler les équations
ne changeront pas si
et
changent de signe, les autres
variables demeurant inaltérées.
On verrait alors, par un raisonnement tout pareil à ceux qui
précèdent, que les séries (4) ne changent pas, si l’on change à la fois
![{\displaystyle \sigma _{3},\quad \sigma _{4},\quad \tau _{3},\quad \tau _{4},\quad w_{3}',\quad w_{4}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaceea902d8813f7f573eaa0c2afffac82ba4c0a)
en
![{\displaystyle -\sigma _{3},\quad -\sigma _{4},\quad -\tau _{3},\quad -\tau _{4},\quad w_{3}'+\pi ,\quad w_{4}'+\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9187b304b6fcb644ac925e72737c88bf074efb98)
On doit en conclure que, dans les développements (4) qui procèdent
suivant les cosinus et les sinus de
![{\displaystyle h={\textstyle \sum }\,m_{i}w_{i}+{\textstyle \sum }\,m_{i}'w_{i}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ccb16950729195d6c438f8a5953c5f81466ff8)
la somme
doit être paire dans le développement de
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\Lambda &\Lambda '&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\\lambda &\lambda '&\tau _{1}&\tau _{2}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5fa2ea03651f9810d8463799ed464e374d107a)
et impaire, au contraire, dans le développement de
![{\displaystyle {\begin{array}{rr}\sigma _{3},&\sigma _{4},\\\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b04a9fdff7f1fadabffcd2ba989accc54c257f)
155.Au no 152, j’ai employé pour simplifier l’exposition et les