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CHAPITRE XIV.

laquelle peut être choisie arbitrairement en fonction des $\Lambda _{0}$ et des $x_{i}'^{0}\,;$ il faut, bien entendu, pour que le théorème soit vrai, avoir soin de choisir cette fonction arbitraire de telle façon qu’elle soit développable suivant les puissances entières des $(x_{i}'^{0})^{2}.$

De même, les équations (8) ne déterminent $[\Lambda _{p}]$ qu’à une constante près que l’on peut choisir arbitrairement. Il est nécessaire de faire ce choix de telle façon que

${\big [}{\big [}\Lambda _{p}{\big ]}{\big ]}$

soit développable suivant les puissances des $(x_{i}'^{0})^{2}.$

5^o L’intégration des équations (7, 3, p) et (7, 4, p) se traite à peu près de la même manière.

Considérons, par exemple, les équations (9) et reprenons les notations dont nous nous sommes servi dans l’étude de ces équations.

Considérons d’abord le cas où $h$ n’est pas égal à $\pm w_{i}'$ et où le déterminant des équations linéaires (10) n’est pas nul. Il est clair alors que si les coefficients $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {B} _{1},$ $\mathrm {A} _{2},$ $\mathrm {B} _{2}$ satisfont à la condition énoncée, il en sera de même des coefficients $\mathrm {C} _{1},$ $\mathrm {D} _{1},$ $\mathrm {C} _{2},$ $\mathrm {D} _{2}$ tirés de ces équations (10).

Passons maintenant au cas où $h=w_{i}'$ et où les équations (10) doivent être remplacées par les équations (10 bis).

Nous avons d’abord l’équation

$n_{i}'^{2}={\frac {\mathrm {A} _{2}-\mathrm {B} _{1}}{2x_{i}'^{0}}}\cdot$

Nous supposons que $\mathrm {A} _{2}$ et $\mathrm {B} _{1}$ qui sont des coefficients du développement d’une fonction antérieurement calculée satisfont à la condition énoncée, c’est-à-dire qu’ils sont développables suivant les puissances des $x_{k}'^{0},$ qu’ils sont divisibles par $x_{i}'^{0}$ et que le quotient ne contient plus que des puissances paires des $x_{k}'^{0}.$ Il en résulte que $n_{i}'^{2}$ ne contient non plus que des puissances paires des $x_{k}'^{0}$ et satisfait par conséquent à notre proposition.

Revenant ensuite aux équations (10 bis) on voit que $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {D} _{1}$ satisfont à la condition énoncée pourvu que $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {D} _{2}$ y satisfassent. Mais nous avons vu que $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {D} _{2}$ peuvent être choisis arbitrairement ; nous pouvons toujours faire ce choix de façon à y satisfaire et le théorème bien entendu n’est vrai qu’à cette condition.