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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

Mais le changement de variables qui fait passer du système (2) au système (3) est assez pénible, et le plus souvent les excentricités sont assez petites pour qu’on puisse l’éviter par l’artifice que j’ai indiqué à la fin du n^o 140. Je rappelle en quoi il consiste. Dans la fonction $\mathrm {F} ,$ les termes de $\mu \,\mathrm {F} _{1}$ qui dépendent des puissances des excentricités et des inclinaisons supérieures à la troisième sont très petits. Si donc je pose

$\mu \,\mathrm {F} _{1}=\mu \mathrm {F} _{1}'+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}'$

$\mu \,\mathrm {F} _{1}'$ représentant l’ensemble des termes de degré 3 au plus et $\mu ^{2}F_{2}'$ les termes de degré 4 au moins, $\mu ^{2}F_{2}'$ sera très petit et $\mathrm {F} _{2}'$ sera fini. Je pourrai écrire alors

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}'+\mu ^{2}(\mathrm {F} _{2}'+\mathrm {F} _{2})+\mu ^{3}\mathrm {F} _{3}+\ldots$

et $\mathrm {F}$ sera encore développé suivant les puissances de $\mu .$ Mais, si l’on considère $\mathrm {F} _{1}'$ comme fonction périodique de $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}',$ sa valeur moyenne ne dépendra pas des $\omega _{i}$ de sorte qu’avec les variables (2) les conditions du n^o 134 sont remplies.

Il est vrai que la signification du paramètre $\mu$ devient ainsi un peu différente de celle que nous lui attribuons d’ordinaire ; mais cela importe peu, puisque le but de ce paramètre est seulement de mettre en évidence l’ordre de grandeur des différents termes.

Une fois ces conventions faites, les résultats du numéro précédent deviennent immédiatement applicables au problème qui nous occupe. Mais, afin d’éviter les difficultés qui ont fait l’objet du Chapitre XII, j’adopterai, au lieu des variables (2), les variables (1), ce qui amènera dans ces résultats quelques modifications sur lesquelles il est nécessaire d’insister. Pour plus de symétrie dans les notations, j’écrirai dans le reste de ce Chapitre $\lambda$ et $\lambda '$ au lieu de $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}',$ $\mathrm {F} _{1}$ au lieu de $\mathrm {F} _{1}',$ $\mathrm {F} _{2}$ au lieu de $\mathrm {F} _{2}'+\mathrm {F} _{2}.$ Il ne peut, en effet, en résulter aucune confusion.

Nous savons que les variables (2) sont, au point de vue formel, développables suivant les puissances croissantes de la manière suivante

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\Lambda &={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\Lambda _{k},&\Lambda '&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\Lambda _{k}',\\\lambda &={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\lambda _{k},&\lambda '&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\lambda _{k}',\\\rho _{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\rho _{i}^{k},&\omega _{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\omega _{i}^{k}.\end{aligned}}\right.$