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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
Envisageons la première des équations (7) en y faisant
si les
sont des constantes, il restera
![{\displaystyle \left[\mathrm {X} _{i}^{2}+\mathrm {Z} _{i}^{2}+\mathrm {U} _{i}^{2}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e530e062e2234f687f05027c457afbce3806a8f)
Or, il résulte des définitions que
![{\displaystyle \left[\mathrm {Z} _{i}^{p}\right]=0,\qquad \mathrm {U} _{i}^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dea9f325ebd714ab62dd0fdcd62c9b1724f0ccf)
Il vient donc
![{\displaystyle \left[\mathrm {X} _{i}^{2}\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f1524adbdbd975a3bac5972e20a08c82e8e0f3)
Cette conclusion, où nous avons été conduit en nous appuyant
sur la possibilité du développement démontrée dans les Chapitres
précédents, peut être obtenue directement.
On a en effet
(10)
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|
|
Il va sans dire que dans
et
je suppose les
les
remplacés par les
les
Il est clair que la valeur moyenne de
est nulle ; il me reste
donc à montrer que la somme algébrique des valeurs moyennes des
quatre premiers termes du second membre de (10) est également
nulle.
En effet, supposons les expressions
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}},\quad y_{k}^{1},\quad {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw'_{k}}},\quad y_{k}'^{1},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e719a718f70c206c5f2c3283171a96d1e46e59df)
développées en séries trigonométriques procédant suivant les sinus
et les cosinus des multiples des
¡ se trouvera ainsi développé
en une série de même forme et il s’agit de calculer les termes de
cette série qui sont indépendants des ![{\displaystyle w_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd0f650d2bd33c7ab6ec1f0a25fbf56bef18bb01)
Il suffit pour cela de calculer les termes indépendants des
dans le produit
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dw_{i}\,dw_{k}}}\,y_{k}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d04fd98d1ff07620292c9ee1edc5ccd87b1805)
et dans tous les autres produits analogues.