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CALCUL DIRECT DES SÉRIES.
on voit que les
les
dépendront seulement des
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrl}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&\ldots ,&x_{i}^{k-1},\\y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&\ldots ,&y_{i}^{k-1}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500bafce4dedaf7f11221aedaeff1775273b9e44)
et des mêmes lettres accentuées ; tandis que les
dépendront en
outre des
mais non des
des
des ![{\displaystyle y_{i}'^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23dadd3f1e5bc216082a0ab1d1fb4bc222c6357c)
Considérons l’expression
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{k}\,n_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9aadadc46b16acd3b3bceedce8b266f3fa5cc1a)
Substituons-y, à la place de
son développement (2) et à la place
des
leur développement suivant les puissances de
Cette
expression deviendra développable suivant les puissances de
et
pour employer des notations analogues à celles du no 127, j’écrirai
son développement sous la forme suivante
(4)
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Il faut convenir que le signe
exprime une sommation étendue
à toutes les valeurs de
et à toutes les valeurs de
depuis 0 jusqu’à
l’infini, et le signe
une sommation étendue à toutes les
valeurs de
et à toutes les valeurs de
depuis 1 jusqu’à l’infini.
Il convient de se rappeler que
et d’adjoindre
aux équations (4) deux autres équations de même forme où les
lettres
et
sont remplacées par les
mêmes lettres accentuées.
Nous écrirons de même
(5)
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Il faut convenir que la sommation
s’étend à toutes les valeurs
de
de 1 à l’infini et la sommation
à toutes les valeurs de
de 2 à l’infini et nous adjoindrons à cette équation (5) trois autres
de même forme où les lettres
![{\displaystyle x_{i},\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{0},\quad \mathrm {U} _{i}^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ebcbf89929d2a841b31ed7ee3e0d4472f471b8)