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CHAPITRE XIV.
choisies de ces constantes, ce qui se verrait par un raisonnement
tout pareil à celui du no 126. On a de plus
![{\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i},&w'_{i}&=n'_{i}t+\varpi '_{i}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab7372bf23ffd0eb9166334500dbf09903e4a65)
les
et les
sont des constantes d’intégration ; tes
et les
sont développables suivant les puissances de
de sorte que
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}n_{i}^{k},&n'_{i}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}n_{i}'^{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28188a43c6b8f1df8249d913dc97c62ebdc1f67a)
avec
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{i}^{0}&\gtrless 0,&n_{i}'^{0}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9edd22473779c9daf3cb7c4a00ae071e5369bd1c)
La possibilité d’un pareil développement étant établie par le
no 134, je me propose d’en calculer directement les coefficients.
À cet effet, je suppose que, dans les équations (1), on substitue
les développements (2) et que, par conséquent, on ne regarde
plus nos variables comme exprimées directement en fonctions du
temps, mais comme dépendant du temps par l’intermédiaire des
et des
ces équations (1) deviendront
(3)
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|
|
Après la substitution des développements (2), il viendra d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}^{k},&-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}^{k},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d970cab3480a2d59fcb8b3a7217ffd7c6f11c20f)
équations analogues aux équations (9) et (10) du no 127, et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{dy'_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {X} _{i}'^{k},&-{\frac {d\mathrm {F} }{dx'_{i}}}&={\textstyle \sum }\,\mu ^{k}\mathrm {Y} _{i}'^{k}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e32413a6bf3ed251c74e983b13792a6addf492)
Les
seront des fonctions des
des
des
des
et des mêmes lettres accentuées. Elles seront périodiques
par rapport aux
et aux
Recherchons, comme dans le no 127, de quelles variables dépendent
toutes ces quantités. Comme
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx'_{i}}}={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy'_{i}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edfd066c2c53adbc0761438ad9c4a4e3cbece75)