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CHAPITRE XIII.
périodique des quantités que nous avons appelées
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af5a6db970c9fa481310a4e2aac51af7eb05a7a)
et l’on a d’ailleurs
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3c84d3eb37cc81f28a14bda8e7d50f0ec4fcc8)
est une constante d’intégration et
dépend de
si donc on
fait
se réduit à
puisqu’on a
![{\displaystyle n_{i}=n_{i}^{0}+\mu \,n_{i}^{1}+\mu ^{2}n_{i}^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4c98054f13b1ad4ce25d99a484ea3c2c175c0c)
Par conséquent,
se réduit à
et
reste une fonction
périodique des quantités ![{\displaystyle n_{i}^{0}t+\varpi _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702588151c9578f52b764ecf34c76b8e6bdb573)
Donc
ne contient pas de terme séculaire.
Pour obtenir
il suffit de faire
dans
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}+x_{i}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f30030e593abd9f07483bbd6730e301527b90e)
En raisonnant comme nous venons de le faire, on verrait qu’en
faisant
dans
on n’y introduit pas de terme séculaire. On
a, d’autre part,
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}=t\sum {\frac {dn_{k}}{d\mu }}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10da6074f0f1d7c9275d8ef2953e7e6c4dd0c1d9)
ou, pour ![{\displaystyle \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3753282c0ad2ea1e7d63f39425efd13c37da3169)
![{\displaystyle {\frac {dx_{i}^{1}}{d\mu }}=t\sum n_{k}^{i}\,{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219199c471a6611406a7eb7593cfb983d55ae682)
On voit ainsi que l’expression de
contient des termes séculaires,
mais il faut faire une distinction ; j’appellerai termes séculaires
mixtes les termes de la forme
![{\displaystyle t^{p}\sin \alpha t\quad \mathrm {ou} \quad t^{p}\cos \alpha t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba64869bcf2742e8effc2dfa6d381aa258ae48d)
et termes séculaires purs les termes de la forme ![{\displaystyle t^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab296b1ccbeb58f56de8c6d9d0def04da4230d39)
Je puis écrire
![{\displaystyle \sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}=\mathrm {A} _{0}+\sum \mathrm {A} _{\alpha }\sin \alpha t+\sum \mathrm {B} _{\alpha }\cos \alpha t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d681b244d62ef93b02530c7dda425213d8cdc7)
En effet, le premier membre est une fonction périodique des
et pour
on a
Si
est nui, l’expression
ne