105
DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.
firmer que ce fait ne se présentera pas. Tout ce qu’il m’est permis
de dire, c’est qu’il est fort invraisemblable.
Comparaison avec les méthodes anciennes.
150. Je n’ajouterai qu’un mot : quel est, à défaut d’un moyen
d’assurer la convergence des séries, le meilleur choix à faire des
valeurs moyennes des
et des
? Je crois qu’il convient de
choisir ces valeurs moyennes de telle façon que les
et les
(à partir de
et de
) s’annulent pour
de telle façon que
les
représentent les valeurs initiales des
et les
les valeurs
initiales des
Si ensuite, on considère les séries ainsi obtenues
(1)
|
|
|
les
les
et les
dépendront de
si l’on développe ces
quantités suivant les puissances de
puis qu’on ordonne suivant
les puissances croissantes de
les seconds membres des équations (1),
on obtiendra le développement selon les puissances de
de celle des solutions particulières de nos équations différentielles
qui admet
et
pour valeurs initiales des
et des ![{\displaystyle y_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a10abf596a91b652cab0eac357d5200fb3545cab)
On sait que ce développement est convergent pour les valeurs
de
suffisamment petites.
Soit
(2)
|
|
|
les
et les
sont des fonctions du temps non périodiques, mais
ne dépendent plus de
de plus, ces fonctions s’annulent de
même que les
et les
pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
De la façon dont nous venons de déduire le développement (2)
du développement (1), il est permis de tirer quelques conséquences
au sujet de la forme du développement (2).
Ainsi, pour obtenir
il suffit de faire
dans l’expression
de
Rappelons comment
dépend de
est une fonction