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CHAPITRE XIII.
Dans les fonctions
(11)
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les constantes
et
doivent être remplacées par les valeurs qui
correspondent à la solution périodique (10) ; les fonctions (i i)
deviennent ainsi périodiques en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
IL en résulte que les
exposants caractéristiques sont nuls.
Or nous savons qu’il n’en est pas ainsi en général.
Donc, en général, les séries (2) ne convergeront pas uniformément
quand µ et les x_i^0 varieront dans un certain intervalle.
C.Q.F.D.
149.Il nous reste à traiter la deuxième question ; on peut
encore, en effet, se demander si ces séries ne pourraient pas converger
pour les petites valeurs de
quand on attribue aux
certaines valeurs convenablement choisies.
Ici nous devons distinguer deux cas.
En général, les
dépendent non seulement des
mais encore
de
et sont développables suivant les puissances de
Nous avons vu, en outre, que l’on peut choisir arbitrairement
les valeurs moyennes des fonctions
et
nous avons vu, de
plus, que l’on peut choisir ces valeurs moyennes de façon que
l’on ait
![{\displaystyle {\begin{array}{c}n_{i}=n_{i}^{0},\\n_{i}^{1}=n_{i}^{2}=\ldots =n_{i}^{p}=\ldots =0,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186ae48eee160b8fa445d22237582242a876c724)
c’est-à-dire que les
ne dépendent plus de ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)
Nous pouvons donc distinguer le cas où les
dépendent de
et celui où les
ne dépendent pas de
Supposons d’abord que les
dépendent de
et en même temps
qu’il n’y ait que 2 degrés de liberté.
Soit alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=n_{1}^{0}+\mu \,n_{1}^{1}+\mu ^{2}n_{1}^{2}+\ldots ,&w_{1}&=n_{1}t+\varpi _{1},\\n_{2}&=n_{2}^{0}+\mu \,n_{2}^{2}+\mu ^{2}n_{2}^{2}+\ldots ,&w_{2}&=n_{2}t+\varpi _{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca665c2853f2b83decd9e921d82595878a6c2fc)
D’autre part,
et
devraient être développables sui-