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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.

poser de façon que les coefficients $n_{i}$ soient commensurables entre eux.

Dans ce cas, on pourra trouver un nombre $\mathrm {T} ,$ tel que les $n_{i}\mathrm {T}$ soient des multiples de $2\pi .$ Par conséquent, quand on donnera à $\mu$ et aux $x_{i}^{0}$ ces valeurs particulières, les équations (7) représenteront une solution périodique de période $\mathrm {T} .$ L’existence de $n$ intégrales uniformes nous forcerait à conclure que $n+1$ des exposants caractéristiques relatifs à cette solution périodique sont nuls.

Mais il y a plus.

Les séries (7), par hypothèse, doivent satisfaire aux équations différentielles

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Nous avons vu qu’en donnant aux $n$ constantes d’intégration $x_{k}^{0}$ certaines valeurs particulières, les séries (7) représentent une solution périodique de ces équations. Pour achever de déterminer cette solution, nous donnerons également aux $n$ constantes d’intégration $\varpi _{k}$ certaines valeurs particulières.

Soit

(10)

${\begin{aligned}x_{i}&=f_{i}(t),&y_{i}&=f_{i}'(t),\end{aligned}}$

la solution périodique ainsi obtenue. Posons

${\begin{aligned}x_{i}&=f_{i}+\xi _{i},&y_{i}&=f_{i}'+\eta _{i},\end{aligned}}$

et formons les équations aux variations des équations (1) (Cf. n^o 53). Les séries (7) devant satisfaire aux équations différentielles, quelles que soient les constantes $x_{k}^{0}$ et $\varpi _{k},$ on obtiendra $2n$ solutions particulières linéairement indépendantes de nos équations aux variations en faisant

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\varepsilon _{ik}+t\,\mu \sum {\frac {d\varphi _{i}}{dw_{p}}}{\frac {dn_{p}}{dx_{k}^{0}}}+\mu \,{\frac {d\varphi _{i}}{dx_{k}^{0}}},\\\eta _{i}&={\frac {dn_{i}}{dx_{k}^{0}}}\,t+t\,\mu \sum {\frac {d\psi _{i}}{dw_{p}}}{\frac {dn_{p}}{dx_{k}^{0}}}+\mu \,{\frac {d\psi _{i}}{dx_{k}^{0}}},\\\xi _{i}&=\mu \,{\frac {d\varphi _{i}}{dw_{k}}},\qquad \eta _{i}=\varepsilon _{ik}+\mu \,{\frac {d\psi _{i}}{dw_{k}}}\,;\end{aligned}}$

${\begin{array}{c}\varepsilon _{ik}=1\;\mathrm {si} \;i=k\quad \mathrm {et} \quad 0\;\mathrm {si} \;i\gtrless k\\(i,k=1,\,2,\,\ldots ,\,n).\end{array}}$