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CHAPITRE XIII.
suffisamment petites de
quand on donne aux
des valeurs convenablement
choisies.
À la première question on doit répondre négativement.
En effet, supposons que les séries (2) convergent uniformément
et écrivons-les sous la forme suivante
(7)
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et
étant des fonctions développables suivant les puissances
croissantes de
et périodiques par rapport aux
dépendant
d’ailleurs des
d’une manière quelconque.
Résolvons les équations (7) par rapport aux
et aux
On
pourra tirer de ces équations les
et les
sous la forme de
séries ordonnées suivant les puissances de
et dont les coefficients
dépendent des
et des
Il est facile de s’en assurer ; on n’a, en effet, pour voir que le
théorème du no 30 est applicable, qu’à remarquer que, pour
les équations se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{0}&=x_{i},&w_{i}&=y_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fd3bdd533e32720f8d09e2f0765e999b794343)
et que le déterminant fonctionnel des premiers membres est égal
à 1. On n’a d’ailleurs qu’à appliquer la formule de Lagrange généralisée.
On trouve ainsi
(8)
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(9)
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et
étant des fonctions développables suivant les puissances
de
uniformes par rapport aux
et aux
et périodiques par
rapport aux ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Les équations (8) définissent ainsi
intégrales uniformes de
nos équations différentielles.
D’un autre côté, nous avons posé
![{\displaystyle w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d8c8b87c6261130f0e05032d735d6cb15808e3)
et les coefficients
ainsi définis dépendent de
et des
si ces
quantités peuvent varier entre certaines limites, on pourra en dis-