88
CHAPITRE XII.
au lieu de
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276b22b87a2e84fbf577849beb66c4fcd58fecf1)
la forme canonique des équations ne sera pas altérée. Il vient alors
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\Lambda \,&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}&{}-{}&\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}&{}-{}&\xi '_{1}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}&{}+{}&\eta {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}&{}+{}&\eta '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }},\\\Lambda '&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}&{}-{}&\xi _{1}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}&{}-{}&\xi '_{1}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}&{}+{}&\eta {\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}&{}+{}&\eta '{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524d345dc9550b77b744550275d4e832171c9ded)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{1}&=\eta \;-\mathrm {C} ,&\eta '_{1}&=\eta '\,-\mathrm {C} ',\\\xi \;&=\xi _{1}+\mathrm {B} ,&\xi '\,&=\xi _{1}'+\mathrm {B} '.&\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b436ec6fcad43d11ca510f92fa075d06a4bf389e)
Quand on fait
![{\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}'=\eta _{1}=\eta _{1}'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989fe5f11379d8e0e75f3902d0b37d7abe1eedc1)
et
se réduisent respectivement à
et
Je veux
que
et
se réduisent de leur côté à
et
Cela entraîne les
conditions
(8)
|
|
|
Ces deux équations sont compatibles et déterminent
pourvu
que les valeurs auxquelles elles conduisent pour les dérivées de
satisfassent à la condition d’intégrabilité
![{\displaystyle {\frac {d}{d\lambda '}}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda }}\right)-{\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda '}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e854ae992c4defcb20038331ec8f86b969993d3)
Or cette condition s’écrit
![{\displaystyle {}{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {A} '}{d\lambda }}-{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}+{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}+{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb92bcbb1204a80493ac6da574150119e160a92)
Si l’on tient compte des équations (6) et si l’on observe que
et
ne dépendent que de
il viendra
![{\displaystyle -{\frac {d\mathrm {A} }{d\lambda }}-{\frac {d\mathrm {A} '}{d\lambda }}+\mathrm {T} {\frac {d\mathrm {T} }{d\lambda }}+\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {U} }{d\lambda }}+\mathrm {T} '{\frac {d\mathrm {T} '}{d\lambda }}+\mathrm {U} '{\frac {d\mathrm {U} '}{d\lambda }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f00d4b0d9b4ce7a3215582ee6dbce03098b2e17)
ce qui veut dire que l’on doit avoir pour la solution périodique
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {A} '-{\frac {\mathrm {T} ^{2}+\mathrm {U} ^{2}+\mathrm {T} '^{2}+\mathrm {U} '^{2}}{2}}=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1ec714cbefcdaf26a31682de7d0f5493a2906d)