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APPLICATION AUX ORBITES.
fonctions périodiques de
et de deux constantes arbitraires
que j’appellerai
et
Soient donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=\mathrm {A} ,&\Lambda '&=\mathrm {A} ',&\xi &=\mathrm {B} ,&\xi '&=\mathrm {B} ',&\eta &=\mathrm {C} ,&\eta '&=\mathrm {C} '\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2be9c93f2b4f3d6d5a5e001b8bf180313d9114)
les équations de ces solutions périodiques ;
et
seront des fonctions de
et
périodiques par rapport
à
et
Voici quelle est la forme de ces fonctions.
et
ne
dépendent que de
et on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} &=\quad \mathrm {T} \cos \lambda +\mathrm {U} \sin \lambda ,&\mathrm {B} '&=\quad \mathrm {T} '\cos \lambda '+\mathrm {U} \sin \lambda ',\\\mathrm {C} &=-\,\mathrm {T} \sin \lambda \,+\mathrm {U} \cos \lambda ,&\mathrm {C} '&=-\,\mathrm {T} '\sin \lambda '\,+\mathrm {U} \cos \lambda ',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2be0bc7b121f256c3e776a3dfc029f017991a1)
et
ne dépendant que de ![{\displaystyle \lambda -\lambda '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efb36a560465755caf069422b8bf4b6b56bb6ef)
On déduit de là facilement l’identité suivante
(6)
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et, par symétrie,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}=-\mathrm {T} '{\frac {d\mathrm {T} '}{d(\lambda -\lambda ')}}-\mathrm {U} '{\frac {d\mathrm {U} '}{d(\lambda -\lambda ')}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c13738c7607e51b5b2e57a6f0fc4db87b45206c)
Cela posé, formons une fonction auxiliaire
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}-\xi _{1}\mathrm {C} -\xi _{1}'\mathrm {C} '+\eta \mathrm {B} +\eta '\mathrm {B} '+\xi _{1}\eta +\xi _{1}'\eta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6691a4a70857b49a57ca55e6cabba60ea5ad5b)
étant une fonction de
que nous déterminerons
plus loin. Alors
est fonction de
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',\\\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}'.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ec7ce136d04f4f2d5bff88d75c266763cd118f)
Si alors nous posons
(7)
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et que l’on prenne pour variables nouvelles
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d36003f7f42427c8efc3e02e354ae5b7a2e853)