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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
dont le premier membre (que j’écrirai, pour abréger,
)
est fonction périodique de
de période ![{\displaystyle 2\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a597bc393cb175d7b44b9bdfdbadc1fb7dc23aa)
Je dis que dans ce cas les équations
(1)
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ne seront pas distinctes en général.
En effet, on aura identiquement
(2)
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Considérons donc l’équation
(3)
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Le premier membre est développable suivant les puissances des
des
et de
de plus il s’annule
quand les
s’annulent.
Supposons que l’on n’ait pas
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e034a2d09c69e38c544e316b4688b5294dfb4d8e)
pour ![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(0),\,\mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9637cb6a355c0e21665d68d15c5bf339ff8b6f)
La dérivée du premier membre de (3) par rapport à
ne s’annulera pas pour
![{\displaystyle \psi _{i}=0,\quad \beta _{i}=0,\quad \mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b16977ddeb2272d4375e04ed480ad656bf7d4f)
Donc, en vertu du théorème du no 30, nous pourrons tirer de l’équation (3)
![{\displaystyle \psi _{n}=\theta (\psi _{1},\,\psi _{2},\,\dots ,\,\psi _{n-1};\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots \beta _{n},\,\,\mu ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519de6308b3f6fbf911a55bfd13dd494aa0a46cf)
étant une série développée suivant les puissances de
et
et s’annulant quand on a à la fois
![{\displaystyle \psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n-1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c3617cf183fbdbeed503e477f305729b40ecb5)
La
ième des équations (1) est donc une conséquence des
premières.
Si l’on avait
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\gtrless 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b72bc40844b5e79b16b4e47cc053eb3820063d)
pour
ce serait la première des équations (1) qui serait
une conséquence des
dernières.