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CHAPITRE III.

De ce que $\Delta$ ne s’annule pas, on peut conclure qu’il existe une solution périodique, de période $2\pi ,$ qui se réduit à

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

pour $\mu =0.$ Si nous construisons la courbe

$\Phi =0$

correspondant aux solutions périodiques ainsi définies, cette courbe passera par l’origine, et sa tangente ne sera pas la droite $\mu =0,$ puisque $\Delta$ n’est pas nul.

Mais une solution de période $2\pi$ peut aussi être regardée également comme une solution périodique de période $2k\pi .$

Cherchons donc les solutions périodiques de période $2k\pi .$ Pour cela, nous aurons à résoudre les équations

$\psi '_{1}=\psi '_{2}=\ldots =\psi '_{n}=0.$

En éliminant entre ces équations $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\ldots ,$ $\beta _{n-1},$ nous obtiendrons une équation unique

$\Phi '(\beta _{n},\mu )=0,$

qui, d’après nos conventions, représentera une courbe passant par l’origine.

Nous devons retrouver nos solutions de période $2\pi \,;$ donc la courbe $\Phi =0$ sera une des branches de la courbe $\Phi '=0$ ($\Phi '$ sera don divisible par $\Phi$), et cette branche ne touchera pas la droite $\mu =0.$

De plus, comme $\Delta '$ est nul, on aura

${\frac {d\Phi '}{d\beta _{n}}}=0.$

Donc l’origine est un point multiple de la courbe $\Phi '=0.$ Il existe donc des solutions de période $2k\pi ,$ distinctes de la solution de période $2\pi$ et se confondant avec elle pour $\mu =0.$

Il y a quelques cas d’exception sur lesquels nous reviendrons dans la suite.

J’ai encore à parler du cas où les équations (1) du n^o 36 admettent une intégrale

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)=\mathrm {const.} ,$