de zéro, ce même système n’ait plus que des solutions simples. Eh bien, ce qu’il s’agit d’établir, c’est que, si est assez petit, il y a, dans l’intérieur de la courbe un nombre impair de ces solutions simples.
Dans mon Mémoire Sur les courbes définies par les équations différentielles [IVe Partie, Chap. XVIII (Journal de Liouville, 4e série, t. II, p. 177)], j’ai eu l’occasion d’étudier la distribution de points singuliers d’un système d’équations différentielles et de définir pour cela l’indice kroneckérien d’une courbe fermée ou d’une surface fermée par rapport à ce système d’équations différentielles.
Le système que nous aurons à considérer ici est le suivant
(2) |
Les points singuliers du système (2) seront les solutions du système (1).
Nous aurons à calculer l’indice kroneckérien de la courbe fermée par rapport au système (2). On peut vérifier qu’il est égal à 1 pour et l’on en conclura qu’il sera encore égal à 1 pour les petites valeurs de puisqu’il ne peut varier que si une des solutions du système (1) vient à franchir cette courbe
Le nombre des points singuliers positifs du système (2), situés à l’intérieur de est donc égal au nombre des points singuliers négatifs plus un.
Le nombre total des points singuliers, c’est-à-dire le nombre
total des solutions du système (1) supposées simples, situées à l’intérieur
de est donc impair.
C.Q.F.D.
Ce raisonnement s’applique sans changement au cas où il y a plus de deux variables.