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CHAPITRE II.

j’ai démontré qu’une pareille équation peut être transformée en une autre de la forme suivante

$\varphi (y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0,$

où $\varphi$ est un polynôme de degré $m$ en $y,$ où le coefficient de $y^{m}$ est égal à 1, et où les autres coefficients sont holomorphes par rapport aux $x.$

Si l’on suppose $m=1,$ cette équation $x$ se réduit à

$y{}-{}$ fonction holomorphe des $\;x=0,$

et l’on retombe sur le théorème du n^o 30.

J’ai démontré également dans cette même Thèse (lemme IV, p. 14) que :

Si $\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{p}$ sont $p$ fonctions holomorphes en $z_{1},$ $z_{2},$ $\dots ,$ $z_{p}\,;$ $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{p}\,;$ si ces fonctions s’annulent quand on annule tous les $z$ et tous les $x\,;$ si les équations

$\varphi _{1}=\varphi _{2}=\dots =\varphi _{p}=0$

restent distinctes quand on annule tous les $x\,;$ si enfin on définit les $z$ en fonction des $x$ par les équations

(2)

$\varphi _{1}=\varphi _{2}=\dots =\varphi _{p}=0,$

les $p$ fonctions ainsi définies sont algébroïdes ; ce qui veut dire, dans le langage de la Thèse citée, que les équations (2) peuvent être remplacées par $p$ autres équations

${\begin{aligned}\psi _{1}&=0,&\psi _{2}&=0,&&\dots ,&\psi _{p}&=0\end{aligned}}$

de même forme, mais dont les premiers membres sont des polynômes entiers par rapport aux $z.$

Cela posé, soient deux équations simultanées

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi (x,y,z)&=0,\\\psi (x,y,z)&=0,\end{aligned}}\right.$

définissant $y$ et $z$ en fonction de $x\,;$ je suppose que les premiers membres soient holomorphes en $x,$ $y$ et $z$ et s’annulent avec ces trois variables.

De deux choses l’une, ou bien, quand on annulera $x,$ les deux