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CHAPITRE II.

suit : si l’on a $p$ équations (où les inconnues sont $y_{1},$ $y_{2},$ $\dots ,$ $y_{p}$)

$\left.{\begin{aligned}f_{1}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\\f_{2}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\\..\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\f_{p}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\end{aligned}}\right.$

dont les premiers membres sont holomorphes, si, pour

$x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0,$

le système de valeurs

$y_{1}=y_{2}=\dots =y_{p}=0$

est une solution simple des équations, les $y$ peuvent se développer suivant les puissances croissantes des $x.$ Si donc on donne aux $x$ des valeurs suffisamment petites, nos équations admettront encore une solution réelle.

Points singuliers algébriques.

32.Considérons une équation

(1)

$f(y,x)=0,$

et supposons que, pour

$x=y=0,$

$f$ s’annule ainsi que ses $m-1$ premières dérivées par rapport à $y.$ Alors, pour $x=0,$ la valeur 0 de $y$ est une solution d’ordre $m$ de l’équation.

On démontre qu’il existe $m$ développements convergents de $y$ suivant les puissances positives et fractionnaires de $x,$ s’annulant avec $x$ et satisfaisant à l’équation (voir les travaux classiques de M. Puiseux sur les équations algébriques).

Mais ces $m$ développements convergents se répartissent en groupes de la manière suivante.

Soit

(2)

$y=\alpha _{1}x^{\frac {1}{p}}+\alpha _{2}x^{\frac {2}{p}}+\dots +\alpha _{n}x^{\frac {n}{p}}+\dots$

un de ces développements, et soit $\lambda$ une racine $p$^ième de l’unité.