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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
Nous sommes ainsi ramenés au cas dont nous venons de nous
occuper.
En particulier, si
est une fonction développable
suivant les puissances de
et des
si pour
![{\displaystyle y=x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d33da8c2d3c4b43b2ac2e4e8d5c53b60943da8)
on a
![{\displaystyle f=0,\qquad {\frac {df}{dy}}\gtrless 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4716736c0f441d46936bdb7f9bfb44afe6ab0bb1)
et si
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
est défini par l’égalité
![{\displaystyle f(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8432890086b7045c8255fc84461ef002e4b8b66)
sera développable suivant les puissances des ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
31.Ce résultat peut s’énoncer d’une autre manière ; considérons
en effet une équation algébrique quelconque
![{\displaystyle f(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dccd79a10e741977d5bf9e89f815f6056a44120)
Si, pour une certaine valeur
de
s’annule sans que sa
dérivée s’annule, on dit que
est une racine simple de l’équation ;
c’est au contraire une racine multiple d’ordre
si
s’annule, ainsi
que ses
premières dérivées.
De même, si l’on a un système quelconque d’équations algébriques,
trois par exemple, à savoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x,y,z)&=0,\\f_{2}(x,y,z)&=0,\\f_{3}(x,y,z)&=0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63204ca69d9b80651d39b61613c7ebff5d96522)
on dit que
![{\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=z_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfe20e984d4efb90f7d3f3005be2ec47c60e33c)
est une solution simple de ce système si pour ces valeurs
s’annulent sans que leur jacobien ou déterminant fonctionnel s’annule.
On peut conserver la même dénomination quand
et
au
lieu d’être des polynômes entiers en
sont des fonctions
holomorphes en
Le résultat du numéro précédent peut alors s’énoncer comme il