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INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

Les équations (2) ne changent donc pas quand on change $t$ en $t+2\pi .$ Cela posé, soient

(3)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=\psi _{1,1}(t),&x_{2}&=\psi _{1,2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{1,n}(t),\\x_{1}&=\psi _{2,1}(t),&x_{2}&=\psi _{2,2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{2,n}(t),\\..&\dots \dots \dots ,&..&\dots \dots \dots ,&&\dots ,&..&\dots \dots \dots ,\\x_{1}&=\psi _{n,1}(t),&x_{2}&=\psi _{n,2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{n,n}(t)\end{aligned}}\right.$

$n$ solutions, linéairement indépendantes, des équations (2).

Les équations ne changent pas quand on change $t$ en $t+2\pi ,$ et les $n$ solutions deviendront

${\begin{aligned}x_{1}&=\psi _{1,1}(t+2\pi ),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{1,n}(t+2\pi ),\\x_{1}&=\psi _{2,1}(t+2\pi ),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{2,n}(t+2\pi ),\\..&\dots \dots \dots \dots ..,&&\dots ,&..&\dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}&=\psi _{n,1}(t+2\pi ),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{n,n}(t+2\pi ).\end{aligned}}$

Elles devront donc être des combinaisons linéaires des $n$ solutions (3), de sorte qu’on aura

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\psi _{1,1}(t+2\pi )&=\mathrm {A} _{1,1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {A} _{1,2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {A} _{1,n}\psi _{n,1}(t),\\\psi _{2,1}(t+2\pi )&=\mathrm {A} _{2,1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {A} _{2,2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {A} _{2,n}\psi _{n,1}(t),\\..\dots \dots \dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\psi _{n,1}(t+2\pi )&=\mathrm {A} _{n,1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {A} _{n,2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {A} _{n,n}\psi _{n,1}(t),\end{aligned}}\right.$

les $\mathrm {A}$ étant des coefficients constants.

On aura d’ailleurs de même (avec les mêmes coefficients)

${\begin{aligned}\psi _{1,2}(t+2\pi )&=\mathrm {A} _{1,1}\psi _{1,2}(t)+\mathrm {A} _{1,2}\psi _{2,2}(t)+\dots +\mathrm {A} _{1,n}\psi _{n,2}(t),\\\dots \dots \dots \dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\end{aligned}}$

Cela posé, formons l’équation en $\mathrm {S}$

(5)

$\left|{\begin{array}{cccc}\mathrm {A} _{1,1}-\mathrm {S} &\mathrm {A} _{1,2}&\dots &\mathrm {A} _{1,n}\\\mathrm {A} _{2,1}&\mathrm {A} _{2,2}-\mathrm {S} &\dots &\mathrm {A} _{2,n}\\\dots \dots &\dots \dots &\dots &\dots \dots \\\mathrm {A} _{n,1}&\mathrm {A} _{n,2}&\dots &\mathrm {A} _{n,n}-\mathrm {S} \\\end{array}}\right|=0.$

Soit $\mathrm {S} _{1}$ l’une des racines de cette équation. D’après la théorie des substitutions linéaires, il existera toujours $n$ coefficients constants

$\mathrm {B} _{1},\quad \mathrm {B} _{2},\quad \dots ,\quad \mathrm {B} _{n},$