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CHAPITRE II.
ques mots avant d’aborder les équations aux dérivées partielles.
On sait qu’une fonction de 
périodique et de période 2π peut
se développer en une série de la forme suivante
J’ai montré dans le Bulletin astronomique (novembre 1886)
que, si la fonction 
est finie et continue, ainsi que ses 
premières dérivées, et si sa 
ième dérivée est finie, mais peut
devenir discontinue en un nombre limité de points, on peut
trouver un nombre positif 
tel que l’on ait, quelque grand que
soit 
Si est une fonction analytique, elle sera finie et continue
ainsi que toutes ses dérivées. On pourra donc trouver un nombre
tel que
Il résulte de là que la série
converge et, par conséquent, que la série (1) est absolument et
uniformément convergente.
Cela posé, considérons un système d’équations différentielles
linéaires
| (2)
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![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\varphi _{1,1}x_{1}+\varphi _{1,2}x_{2}+\dots +\varphi _{1,n}x_{n},\\[0.5ex]{\frac {dx_{2}}{dt}}&=\varphi _{2,1}x_{1}+\varphi _{2,2}x_{2}+\dots +\varphi _{2,n}x_{n},\\\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..,\\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=\varphi _{n,1}x_{1}+\varphi _{n,2}x_{2}+\dots +\varphi _{n,n}x_{n}.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddecbddec44a1c048202b3ab72fc7f52385027e)
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Les 
coefficients 
sont des fonctions de 
périodiques et de
période 2π.
